Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1hevtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg0 40720
 Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (𝜑𝐴𝑋)
1hevtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1hevtxdg0.e (𝜑𝐸𝑌)
1hevtxdg0.n (𝜑𝐷𝐸)
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.n . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐸)
2 df-nel 2783 . . . . . . 7 (𝐷𝐸 ↔ ¬ 𝐷𝐸)
31, 2sylib 207 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐷𝐸)
4 1hevtxdg0.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
54fveq1d 6105 . . . . . . 7 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6 1hevtxdg0.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
7 1hevtxdg0.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑌)
8 fvsng 6352 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐸𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
96, 7, 8syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
105, 9eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
113, 10neleqtrrd 2710 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
1312eleq2d 2673 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1413notbid 307 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1514ralsng 4165 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
166, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1711, 16mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
184dmeqd 5248 . . . . . 6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19 dmsnopg 5524 . . . . . . 7 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
207, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
2118, 20eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
2221raleqdv 3121 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
2317, 22mpbird 246 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
24 ralnex 2975 . . 3 (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
2523, 24sylib 207 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
26 1hevtxdg0.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
27 1hevtxdg0.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2827eleq2d 2673 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐷𝑉))
2926, 28mpbird 246 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
30 eqid 2610 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31 eqid 2610 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
32 eqid 2610 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3330, 31, 32vtxd0nedgb 40703 . . 3 (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
3429, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
3525, 34mpbird 246 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {csn 4125  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  0cc0 9815  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  40729  eupth2lem3lem6  41401
 Copyright terms: Public domain W3C validator