Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1loopgrvd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrvd0 40719
 Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd0.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
Assertion
Ref Expression
1loopgrvd0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem 1loopgrvd0
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgrvd0.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
21eldifbd 3553 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑁})
3 1loopgruspgr.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
4 snex 4835 . . . . . 6 {𝑁} ∈ V
5 fvsng 6352 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ {𝑁} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
63, 4, 5sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
76eleq2d 2673 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) ↔ 𝐾 ∈ {𝑁}))
82, 7mtbird 314 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
9 1loopgruspgr.i . . . . . . 7 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
109dmeqd 5248 . . . . . 6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
11 dmsnopg 5524 . . . . . . 7 ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
124, 11mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
1310, 12eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
149fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖))
1514eleq2d 2673 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
1613, 15rexeqbidv 3130 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
17 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
1817eleq2d 2673 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐴 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
1918rexsng 4166 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
203, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
2116, 20bitrd 267 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
228, 21mtbird 314 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖))
231eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
24 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2524eleq2d 2673 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾𝑉))
2623, 25mpbird 246 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
27 eqid 2610 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28 eqid 2610 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
29 eqid 2610 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3027, 28, 29vtxd0nedgb 40703 . . 3 (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
3126, 30syl 17 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
3222, 31mpbird 246 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ⟨cop 4131  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  0cc0 9815  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  1egrvtxdg0  40727  eupth2lem3lem3  41398
 Copyright terms: Public domain W3C validator