Theorem 1egrvtxdg0 40727

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
1egrvtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Proof of Theorem 1egrvtxdg0

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1egrvtxdg1.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1egrvtxdg1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		1egrvtxdg1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		1egrvtxdg0.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
9		preq2 4213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = 𝐵 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
10	9	eqcoms 2618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵, 𝐵})
11		dfsn2 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
12	10, 11	syl6eqr 2662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → {𝐵, 𝐷} = {𝐵})
14	13	opeq2d 4347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → ⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩ = ⟨𝐴, {𝐵}⟩)
15	14	sneqd 4137	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
16	8, 15	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵}⟩})
17		1egrvtxdg1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18		1egrvtxdg1.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
19	18	necomd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
20	17, 19	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
21		eldifsn 4260	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
22	20, 21	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ (𝑉 ∖ {𝐵}))
24	2, 4, 6, 16, 23	1loopgrvd0 40719	. . 3 ⊢ ((𝐵 = 𝐷 ∧ 𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
25	24	ex 449	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
26		necom 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
27		df-ne 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐶 = 𝐵)
28	26, 27	sylbb 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
29	18, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐵)
30		1egrvtxdg0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
31	30	neneqd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐷)
32	29, 31	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
34		ioran 510	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 = 𝐷))
35	33, 34	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷))
36	5, 1	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
37	36	elfvexd 6132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
38		edgaval 25794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
40	7	rneqd 5274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
41		rnsnopg 5532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩} = {{𝐵, 𝐷}})
43	40, 42	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
44	39, 43	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
45	44	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐷}})
46	45	rexeqdv 3122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒))
47		prex 4836	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐷} ∈ V
48		eleq2 2677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {𝐵, 𝐷} → (𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
49	48	rexsng 4166	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐷} ∈ V → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
50	47, 49	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ {{𝐵, 𝐷}}𝐶 ∈ 𝑒 ↔ 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷}))
51		elprg 4144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
52	17, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
53	52	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (𝐶 ∈ {𝐵, 𝐷} ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
54	46, 50, 53	3bitrd 293	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒 ↔ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐶 = 𝐷)))
55	35, 54	mtbird 314	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒)
56		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
57	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ 𝑋)
58	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
59		1egrvtxdg0.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
60	59, 1	eleqtrrd 2691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
61	60	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
62	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐷}⟩})
63		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐵 ≠ 𝐷)
64	56, 57, 58, 61, 62, 63	usgr1e 40471	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐺 ∈ USGraph )
65	17, 1	eleqtrrd 2691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
66	65	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
67		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
68		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
69	56, 67, 68	vtxdusgr0edgnel 40710	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒))
70	64, 66, 69	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)𝐶 ∈ 𝑒))
71	55, 70	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝜑) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)
72	71	ex 449	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0))
73	25, 72	pm2.61ine 2865	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ran crn 5039  ‘cfv 5804  0cc0 9815  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379  VtxDegcvtxdg 40681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-vtxdg 40682

This theorem is referenced by: (None)