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Theorem wofib 8333
 Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wofib.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
wofib ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wofi 8094 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2 cnvso 5591 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
3 wofi 8094 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
42, 3sylanb 488 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
51, 4jca 553 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))
6 weso 5029 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
76adantr 480 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8 peano2 6978 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9 sucidg 5720 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
11 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
1210, 11brcnv 5227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 E 𝑦𝑦 E 𝑧)
13 epel 4952 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
1412, 13bitri 263 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑦𝑦𝑧)
15 eleq2 2677 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦𝑧𝑦 ∈ suc 𝑦))
1614, 15syl5bb 271 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧 E 𝑦𝑦 ∈ suc 𝑦))
1716rspcev 3282 . . . . . . . . 9 ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦)
188, 9, 17syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦)
19 dfrex2 2979 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
2018, 19sylib 207 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
2120nrex 2983 . . . . . 6 ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦
22 ordom 6966 . . . . . . . 8 Ord ω
23 eqid 2610 . . . . . . . . 9 OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2423oicl 8317 . . . . . . . 8 Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25 ordtri1 5673 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
2622, 24, 25mp2an 704 . . . . . . 7 (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27 wofib.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ V
2823oion 8324 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
2927, 28mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
3129, 30ssexd 4733 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
3223oiiso 8325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
3327, 32mpan 702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34 isocnv2 6481 . . . . . . . . . . . 12 (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
3533, 34sylib 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36 wefr 5028 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
37 isofr 6492 . . . . . . . . . . . 12 (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → ( E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ 𝑅 Fr 𝐴))
3837biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
3935, 36, 38syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41 1onn 7606 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ ω
42 ne0i 3880 . . . . . . . . . 10 (1𝑜 ∈ ω → ω ≠ ∅)
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44 fri 5000 . . . . . . . . 9 (((ω ∈ V ∧ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
4531, 40, 30, 43, 44syl22anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
4645ex 449 . . . . . . 7 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦))
4726, 46syl5bir 232 . . . . . 6 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦))
4821, 47mt3i 140 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49 ssid 3587 . . . . 5 dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50 ssnnfi 8064 . . . . 5 ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
5148, 49, 50sylancl 693 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
5323oien 8326 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
5427, 52, 53sylancr 694 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55 enfi 8061 . . . . 5 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5654, 55syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5751, 56mpbid 221 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
587, 57jca 553 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin))
595, 58impbii 198 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   E cep 4947   Or wor 4958   Fr wfr 4994   We wwe 4996  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Ord word 5639  Oncon0 5640  suc csuc 5642   Isom wiso 5805  ωcom 6957  1𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  OrdIsocoi 8297 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-oi 8298 This theorem is referenced by: (None)
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