MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2 6978
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 6973 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
21biimpi 205 1 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  suc csuc 5642  ωcom 6957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-om 6958
This theorem is referenced by:  onnseq  7328  seqomlem1  7432  seqomlem4  7435  onasuc  7495  onmsuc  7496  onesuc  7497  nnacl  7578  nnecl  7580  nnacom  7584  nnmsucr  7592  1onn  7606  2onn  7607  3onn  7608  4onn  7609  nnneo  7618  nneob  7619  omopthlem1  7622  onomeneq  8035  dif1en  8078  findcard  8084  findcard2  8085  unbnn2  8102  dffi3  8220  wofib  8333  axinf2  8420  dfom3  8427  noinfep  8440  cantnflt  8452  trcl  8487  cardsucnn  8694  dif1card  8716  fseqdom  8732  alephfp  8814  ackbij1lem16  8940  ackbij2lem2  8945  ackbij2lem3  8946  ackbij2  8948  sornom  8982  infpssrlem4  9011  fin23lem26  9030  fin23lem20  9042  fin23lem38  9054  fin23lem39  9055  isf32lem2  9059  isf32lem3  9060  isf34lem7  9084  isf34lem6  9085  fin1a2lem6  9110  fin1a2lem9  9113  fin1a2lem12  9116  domtriomlem  9147  axdc2lem  9153  axdc3lem  9155  axdc3lem2  9156  axdc3lem4  9158  axdc4lem  9160  axdclem2  9225  peano2nn  10909  om2uzrani  12613  uzrdgsuci  12621  fzennn  12629  axdc4uzlem  12644  bnj970  30271  trpredtr  30974  elhf2  31452  0hf  31454  hfsn  31456  hfpw  31462  neibastop2lem  31525  finxpsuclem  32410
  Copyright terms: Public domain W3C validator