MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2 6955
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2
StepHypRef Expression
1 peano2b 6950 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
21biimpi 204 1 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  suc csuc 5628  ωcom 6934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-om 6935
This theorem is referenced by:  onnseq  7305  seqomlem1  7409  seqomlem4  7412  onasuc  7472  onmsuc  7473  onesuc  7474  nnacl  7555  nnecl  7557  nnacom  7561  nnmsucr  7569  1onn  7583  2onn  7584  3onn  7585  4onn  7586  nnneo  7595  nneob  7596  omopthlem1  7599  onomeneq  8012  dif1en  8055  findcard  8061  findcard2  8062  unbnn2  8079  dffi3  8197  wofib  8310  axinf2  8397  dfom3  8404  noinfep  8417  cantnflt  8429  trcl  8464  cardsucnn  8671  dif1card  8693  fseqdom  8709  alephfp  8791  ackbij1lem16  8917  ackbij2lem2  8922  ackbij2lem3  8923  ackbij2  8925  sornom  8959  infpssrlem4  8988  fin23lem26  9007  fin23lem20  9019  fin23lem38  9031  fin23lem39  9032  isf32lem2  9036  isf32lem3  9037  isf34lem7  9061  isf34lem6  9062  fin1a2lem6  9087  fin1a2lem9  9090  fin1a2lem12  9093  domtriomlem  9124  axdc2lem  9130  axdc3lem  9132  axdc3lem2  9133  axdc3lem4  9135  axdc4lem  9137  axdclem2  9202  peano2nn  10879  om2uzrani  12568  uzrdgsuci  12576  fzennn  12584  axdc4uzlem  12599  bnj970  30077  trpredtr  30780  elhf2  31258  0hf  31260  hfsn  31262  hfpw  31268  neibastop2lem  31331  finxpsuclem  32206
  Copyright terms: Public domain W3C validator