MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isofr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isofr 6492
Description: An isomorphism preserves well-foundedness. Proposition 6.32(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isofr (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))

Proof of Theorem isofr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isocnv 6480 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2 id 22 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3 isof1o 6473 . . . . 5 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
4 f1ofun 6052 . . . . 5 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 → Fun 𝐻)
5 vex 3176 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
65funimaex 5890 . . . . 5 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
73, 4, 63syl 18 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ V)
82, 7isofrlem 6490 . . 3 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
91, 8syl 17 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
10 id 22 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
11 isof1o 6473 . . . 4 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
12 f1ofun 6052 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐻)
135funimaex 5890 . . . 4 (Fun 𝐻 → (𝐻𝑥) ∈ V)
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝐻𝑥) ∈ V)
1510, 14isofrlem 6490 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑆 Fr 𝐵𝑅 Fr 𝐴))
169, 15impbid 201 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → (𝑅 Fr 𝐴𝑆 Fr 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wcel 1977  Vcvv 3173   Fr wfr 4994  ccnv 5037  cima 5041  Fun wfun 5798  1-1-ontowf1o 5803   Isom wiso 5805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-fr 4997  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813
This theorem is referenced by:  isowe  6499  wofib  8333  isfin1-4  9092
  Copyright terms: Public domain W3C validator