Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrwlknloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrwlknloop 26093
 Description: In an undirected simple graph, each walk has no loops! (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrwlknloop ((𝑉 USGrph 𝐸𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Proof of Theorem usgrwlknloop
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 26051 . . 3 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
2 iswlk 26048 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
323adant1 1072 . . . 4 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
4 wrdf 13165 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
5 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐸)
6 usgrafun 25878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 USGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
7 fvelrn 6260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐸 ∧ (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑘)) ∈ ran 𝐸)
8 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ ran 𝐸))
98anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐸‘(𝐹𝑘)) ∈ ran 𝐸) ↔ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
109biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐸‘(𝐹𝑘)) ∈ ran 𝐸) → (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
11 usgraedgrn 25910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
1210, 11syl6com 36 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐸‘(𝐹𝑘)) ∈ ran 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
1312expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐸‘(𝐹𝑘)) ∈ ran 𝐸 → (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
147, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐸 ∧ (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐸) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
1514ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐸 → ((𝐹𝑘) ∈ dom 𝐸 → (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
1615com23 84 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝐸 → (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝐹𝑘) ∈ dom 𝐸 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
176, 16mpcom 37 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝐹𝑘) ∈ dom 𝐸 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
185, 17syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
1918ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
2019com23 84 . . . . . . . . 9 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
214, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
2221imp31 447 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑉 USGrph 𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2322ralimdva 2945 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑉 USGrph 𝐸) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2423impancom 455 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
25243adant2 1073 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
263, 25syl6bi 242 . . 3 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
271, 26mpcom 37 . 2 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2827impcom 445 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   USGrph cusg 25859   Walks cwalk 26026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-wlk 26036 This theorem is referenced by:  usgrcyclnl1  26168
 Copyright terms: Public domain W3C validator