Theorem usgrcyclnl1 26168

Description: In an undirected simple graph (with no loops!) there are no cycles with length 1 (consisting of one edge ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgrcyclnl1	⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃) → (#‘𝐹) ≠ 1)

Proof of Theorem usgrcyclnl1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 26160	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
2		wlkbprop 26051	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3		iscycl 26153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
4	3	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
5		pthistrl 26102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
6		trliswlk 26069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
8		usgrwlknloop 26093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
9		nne 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (#‘𝐹) ≠ 1 ↔ (#‘𝐹) = 1)
10		0z 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		1z 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		0lt1 10429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 < 1
13		fzolb 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ (0..^1) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 < 1))
14	10, 11, 12, 13	mpbir3an 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ (0..^1)
15		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^1))
16	14, 15	syl5eleqr 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
17	16	anim2i 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) = 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
18	17	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((#‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))))
20	19	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) = 1 ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
21		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
22		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
23	22	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(0 + 1)))
24	21, 23	neeq12d 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1))))
25	24	rspccva 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
26	20, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝐹) = 1 ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
27		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 + 1) = 1
28		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 = (#‘𝐹) → 1 = (#‘𝐹))
29	28	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → 1 = (#‘𝐹))
30	27, 29	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (0 + 1) = (#‘𝐹))
31	30	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(0 + 1)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
32	31	neeq2d 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
33		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
34	32, 33	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
35	26, 34	syl5ibcom 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) = 1 ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)) → ((#‘𝐹) = 1 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
36	35	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐹) = 1 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
37	36	pm2.43a 52	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
38	9, 37	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ (#‘𝐹) ≠ 1 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
39	38	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (¬ (#‘𝐹) ≠ 1 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
40	39	con4d 113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1))
41	40	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1)))
42	41	com23 84	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
43	8, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
44	43	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 1))))
45	44	com14 94	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1))))
46	45	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1))))
47	7, 46	syl5 33	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1))))
48	47	impd 446	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
49	4, 48	sylbid 229	. . . 4 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
50	2, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
51	1, 50	mpcom 37	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1))
52	51	impcom 445	1 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃) → (#‘𝐹) ≠ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979   USGrph cusg 25859   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028   Cycles ccycl 26035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-cycl 26041

This theorem is referenced by: (None)