Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrcyclnl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrcyclnl1 26168
 Description: In an undirected simple graph (with no loops!) there are no cycles with length 1 (consisting of one edge ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclnl1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃) → (#‘𝐹) ≠ 1)

Proof of Theorem usgrcyclnl1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 26160 . . 3 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
2 wlkbprop 26051 . . . 4 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3 iscycl 26153 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
433adant1 1072 . . . . 5 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
5 pthistrl 26102 . . . . . . . 8 (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
6 trliswlk 26069 . . . . . . . 8 (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
8 usgrwlknloop 26093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
9 nne 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (#‘𝐹) ≠ 1 ↔ (#‘𝐹) = 1)
10 0z 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℤ
11 1z 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℤ
12 0lt1 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < 1
13 fzolb 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (0..^1) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 < 1))
1410, 11, 12, 13mpbir3an 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0..^1)
15 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) = 1 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^1))
1614, 15syl5eleqr 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝐹) = 1 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
1716anim2i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) = 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
1817ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((#‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))))
2019impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
21 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
22 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
2322fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(0 + 1)))
2421, 23neeq12d 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1))))
2524rspccva 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
2620, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
27 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 + 1) = 1
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 = (#‘𝐹) → 1 = (#‘𝐹))
2928eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝐹) = 1 → 1 = (#‘𝐹))
3027, 29syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝐹) = 1 → (0 + 1) = (#‘𝐹))
3130fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(0 + 1)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
3231neeq2d 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
33 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
3432, 33syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)) ↔ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
3526, 34syl5ibcom 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)) → ((#‘𝐹) = 1 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
3635ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐹) = 1 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐹) = 1 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))))
3736pm2.43a 52 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) = 1 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
389, 37sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (#‘𝐹) ≠ 1 → ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
3938com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → (¬ (#‘𝐹) ≠ 1 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
4039con4d 113 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1))
4140ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1)))
4241com23 84 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
438, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
4443ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 1))))
4544com14 94 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1))))
46453ad2ant1 1075 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1))))
477, 46syl5 33 . . . . . 6 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1))))
4847impd 446 . . . . 5 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
494, 48sylbid 229 . . . 4 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
502, 49syl 17 . . 3 (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1)))
511, 50mpcom 37 . 2 (𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃 → (𝑉 USGrph 𝐸 → (#‘𝐹) ≠ 1))
5251impcom 445 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐹(𝑉 Cycles 𝐸)𝑃) → (#‘𝐹) ≠ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979   USGrph cusg 25859   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028   Cycles ccycl 26035 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-cycl 26041 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator