Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrstrrepelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrstrrepelem 25744
 Description: Lemma for uhgrstrrepe 25745. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrstrrepe.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
uhgrstrrepe.i 𝐼 = (.ef‘ndx)
uhgrstrrepe.s (𝜑𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩)
uhgrstrrepe.b (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
uhgrstrrepe.g (𝜑𝐺𝑈)
uhgrstrrepe.e (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
uhgrstrrepe.w (𝜑𝐸𝑊)
Assertion
Ref Expression
uhgrstrrepelem (𝜑 → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))

Proof of Theorem uhgrstrrepelem
StepHypRef Expression
1 ovex 6577 . . 3 (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V)
3 uhgrstrrepe.s . . 3 (𝜑𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩)
4 isstruct 15705 . . . 4 (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩ ↔ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ (Base‘ndx) ≤ 𝐼) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ ((Base‘ndx)...𝐼)))
5 uhgrstrrepe.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑈)
65anim1i 590 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
7 uhgrstrrepe.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (.ef‘ndx)
8 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (.ef‘ndx) ∈ V
97, 8eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝐼 ∈ V)
11 uhgrstrrepe.w . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑊)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → 𝐸𝑊)
13 setsfun0 15726 . . . . . . 7 (((𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
146, 10, 12, 13syl12anc 1316 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
1514expcom 450 . . . . 5 (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
16153ad2ant2 1076 . . . 4 ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ (Base‘ndx) ≤ 𝐼) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ ((Base‘ndx)...𝐼)) → (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
174, 16sylbi 206 . . 3 (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩ → (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
183, 17mpcom 37 . 2 (𝜑 → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
19 uhgrstrrepe.b . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
2019orcd 406 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∨ (Base‘ndx) ∈ {𝐼}))
21 elun 3715 . . . . 5 ((Base‘ndx) ∈ (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ↔ ((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∨ (Base‘ndx) ∈ {𝐼}))
2220, 21sylibr 223 . . . 4 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
239snid 4155 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ {𝐼}
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ {𝐼})
2524olcd 407 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∈ dom 𝐺𝐼 ∈ {𝐼}))
26 elun 3715 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ↔ (𝐼 ∈ dom 𝐺𝐼 ∈ {𝐼}))
2725, 26sylibr 223 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
287, 27syl5eqelr 2693 . . . 4 (𝜑 → (.ef‘ndx) ∈ (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
2922, 28prssd 4294 . . 3 (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
30 setsdm 15724 . . . 4 ((𝐺𝑈𝐸𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
315, 11, 30syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
3229, 31sseqtr4d 3605 . 2 (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
332, 18, 323jca 1235 1 (𝜑 → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ...cfz 12197   Struct cstr 15691  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695  .efcedgf 25667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-sets 15701 This theorem is referenced by:  uhgrstrrepe  25745
 Copyright terms: Public domain W3C validator