Theorem symgmatr01 20279

Description: Applying a permutation that does not fix a certain element of a set to a second element to an index of a matrix a row with 0's and a 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgmatr01.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgmatr01.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
symgmatr01.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
symgmatr01	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑞,𝐿   𝑘,𝐾,𝑞   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘,𝑞   𝑄,𝑘,𝑞   𝑖,𝑗,𝑘,𝑞,𝐿   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗,𝑘,𝑞)   1 (𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem symgmatr01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgmatr01.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2	1	symgmatr01lem 20278	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
3	2	imp 444	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 )
4		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗))))
5		eqeq1 2614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑘 = 𝐾))
7		eqeq1 2614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑄‘𝑘) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄‘𝑘) = 𝐿))
9	8	ifbid 4058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ) = if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ))
10		oveq12 6558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)))
11	6, 9, 10	ifbieq12d 4063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘 ∧ 𝑗 = (𝑄‘𝑘))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
13		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
14		eldifi 3694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → 𝑄 ∈ 𝑃)
15		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
16	15, 1	symgfv 17630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
17	16	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁))
20	19	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑘) ∈ 𝑁)
21		symgmatr01.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
22		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
23	21, 22	eqeltri 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
24		symgmatr01.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
25		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
26	24, 25	eqeltri 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
27	23, 26	ifex 4106	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ) ∈ V
28		ovex 6577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘)) ∈ V
29	27, 28	ifex 4106	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) ∈ V)
31	4, 12, 13, 20, 30	ovmpt2d 6686	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))))
32	31	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
33	32	rexbidva 3031	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → (∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑁 if(𝑘 = 𝐾, if((𝑄‘𝑘) = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑘𝑀(𝑄‘𝑘))) = 0 ))
34	3, 33	mpbird 246	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿})) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 )
35	34	ex 449	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐿}) → ∃𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑄‘𝑘)) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ifcif 4036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  SymGrpcsymg 17620  1_rcur 18324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-symg 17621

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  20286