Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgmatr01 Structured version   Unicode version

Theorem symgmatr01 18587
 Description: Applying a permutation that does not fix a certain element of a set to a second element to an index of a matrix a row with 0's and a 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgmatr01.p
symgmatr01.0
symgmatr01.1
Assertion
Ref Expression
symgmatr01
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem symgmatr01
StepHypRef Expression
1 symgmatr01.p . . . . 5
21symgmatr01lem 18586 . . . 4
32imp 429 . . 3
4 eqidd 2453 . . . . . 6
5 eqeq1 2456 . . . . . . . . 9
65adantr 465 . . . . . . . 8
7 eqeq1 2456 . . . . . . . . . 10
87adantl 466 . . . . . . . . 9
98ifbid 3914 . . . . . . . 8
10 oveq12 6204 . . . . . . . 8
116, 9, 10ifbieq12d 3919 . . . . . . 7
1211adantl 466 . . . . . 6
13 simpr 461 . . . . . 6
14 eldifi 3581 . . . . . . . . 9
15 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11
1615, 1symgfv 16006 . . . . . . . . . 10
1716ex 434 . . . . . . . . 9
1814, 17syl 16 . . . . . . . 8
1918adantl 466 . . . . . . 7
2019imp 429 . . . . . 6
21 symgmatr01.1 . . . . . . . . . 10
22 fvex 5804 . . . . . . . . . 10
2321, 22eqeltri 2536 . . . . . . . . 9
24 symgmatr01.0 . . . . . . . . . 10
25 fvex 5804 . . . . . . . . . 10
2624, 25eqeltri 2536 . . . . . . . . 9
2723, 26ifex 3961 . . . . . . . 8
28 ovex 6220 . . . . . . . 8
2927, 28ifex 3961 . . . . . . 7
3029a1i 11 . . . . . 6
314, 12, 13, 20, 30ovmpt2d 6323 . . . . 5
3231eqeq1d 2454 . . . 4
3332rexbidva 2854 . . 3
343, 33mpbird 232 . 2
3534ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wrex 2797  crab 2800  cvv 3072   cdif 3428  cif 3894  cfv 5521  (class class class)co 6195   cmpt2 6197  cbs 14287  c0g 14492  csymg 15996  cur 16720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-plusg 14365  df-tset 14371  df-symg 15997 This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  18594
 Copyright terms: Public domain W3C validator