Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgint 18625
 Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgint
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 18609 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
21ssriv 3572 . . . 4 (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3 sstr 3576 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
42, 3mpan2 703 . . 3 (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5 subgint 17441 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
64, 5sylan 487 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7 ssel2 3563 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
87adantlr 747 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9 eqid 2610 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
109subrg1cl 18611 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝑟)
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟𝑆) → (1r𝑅) ∈ 𝑟)
1211ralrimiva 2949 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑟𝑆 (1r𝑅) ∈ 𝑟)
13 fvex 6113 . . . 4 (1r𝑅) ∈ V
1413elint2 4417 . . 3 ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑟𝑆 (1r𝑅) ∈ 𝑟)
1512, 14sylibr 223 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
168adantlr 747 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
17 simprl 790 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑥 𝑆)
18 elinti 4420 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑆 → (𝑟𝑆𝑥𝑟))
1918imp 444 . . . . . . 7 ((𝑥 𝑆𝑟𝑆) → 𝑥𝑟)
2017, 19sylan 487 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑥𝑟)
21 simprr 792 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑦 𝑆)
22 elinti 4420 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑆 → (𝑟𝑆𝑦𝑟))
2322imp 444 . . . . . . 7 ((𝑦 𝑆𝑟𝑆) → 𝑦𝑟)
2421, 23sylan 487 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑦𝑟)
25 eqid 2610 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2625subrgmcl 18615 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑟𝑦𝑟) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
2716, 20, 24, 26syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
2827ralrimiva 2949 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → ∀𝑟𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
29 ovex 6577 . . . . 5 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ V
3029elint2 4417 . . . 4 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑟𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
3128, 30sylibr 223 . . 3 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
3231ralrimivva 2954 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
33 ssn0 3928 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRing‘𝑅) ≠ ∅)
34 n0 3890 . . . 4 ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 subrgrcl 18608 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3635exlimiv 1845 . . . 4 (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3734, 36sylbi 206 . . 3 ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3938, 9, 25issubrg2 18623 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
4033, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ( 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
416, 15, 32, 40mpbir3and 1238 1 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  SubGrpcsubg 17411  1rcur 18324  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601 This theorem is referenced by:  subrgin  18626  subrgmre  18627  aspsubrg  19152  rgspncl  36758
 Copyright terms: Public domain W3C validator