Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aspsubrg 19152
 Description: The algebraic span of a set of vectors is a subring of the algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
aspsubrg ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) ∈ (SubRing‘𝑊))

Proof of Theorem aspsubrg
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aspval.a . . 3 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
2 aspval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2610 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
41, 2, 3aspval 19149 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) = {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡})
5 ssrab2 3650 . . . 4 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ⊆ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))
6 inss1 3795 . . . 4 ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ⊆ (SubRing‘𝑊)
75, 6sstri 3577 . . 3 {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑊)
8 fvex 6113 . . . . 5 (𝐴𝑆) ∈ V
94, 8syl6eqelr 2697 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V)
10 intex 4747 . . . 4 ({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ≠ ∅ ↔ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ∈ V)
119, 10sylibr 223 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ≠ ∅)
12 subrgint 18625 . . 3 (({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑊) ∧ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ≠ ∅) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ∈ (SubRing‘𝑊))
137, 11, 12sylancr 694 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆𝑡} ∈ (SubRing‘𝑊))
144, 13eqeltrd 2688 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆𝑉) → (𝐴𝑆) ∈ (SubRing‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  SubRingcsubrg 18599  LSubSpclss 18753  AssAlgcasa 19130  AlgSpancasp 19131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-assa 19133  df-asp 19134 This theorem is referenced by:  mplbas2  19291
 Copyright terms: Public domain W3C validator