Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snifpsrbag 19187
 Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦   𝑓,𝑁,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 0nn0 11184 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
41, 3ifcld 4081 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . 3 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐼) → if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0) ∈ ℕ0)
6 eqid 2610 . . 3 (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0))
75, 6fmptd 6292 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0)
8 id 22 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
9 c0ex 9913 . . . . . 6 0 ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝐼𝑉 → 0 ∈ V)
118, 10, 6sniffsupp 8198 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
1211adantr 480 . . 3 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0)
13 frnnn0fsupp 11227 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
1413adantlr 747 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
1514bicomd 212 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0) → (((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
167, 15mpdan 699 . . 3 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) finSupp 0))
1712, 16mpbird 246 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
18 psrbag.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
1918psrbag 19185 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
2019adantr 480 . 2 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
217, 17, 20mpbir2and 959 1 ((𝐼𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 𝑁, 0)) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170 This theorem is referenced by:  fczpsrbag  19188  mvrid  19244  mvrf1  19246  mplcoe3  19287  mplcoe5  19289
 Copyright terms: Public domain W3C validator