MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frnnn0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frnnn0fsupp 11227
Description: A function on 0 is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
frnnn0fsupp ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem frnnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 c0ex 9913 . . . 4 0 ∈ V
2 frnfsuppbi 8187 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
31, 2mpan2 703 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
43imp 444 . 2 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
5 dfn2 11182 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
65eqcomi 2619 . . . . 5 (ℕ0 ∖ {0}) = ℕ
76a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (ℕ0 ∖ {0}) = ℕ)
87imaeq2d 5385 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))
98eleq1d 2672 . 2 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
104, 9bitrd 267 1 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  ccnv 5037  cima 5041  wf 5800  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815  cn 10897  0cn0 11169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170
This theorem is referenced by:  snifpsrbag  19187  psrbagfsupp  19330
  Copyright terms: Public domain W3C validator