MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Unicode version

Theorem snifpsrbag 17432
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) )  e.  D )
Distinct variable groups:    y, f    y, V    f, I, y   
y, D    f, X, y    f, N, y
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
2 0nn0 10593 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  NN0 )
41, 3ifcld 3831 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  if ( y  =  X ,  N ,  0 )  e.  NN0 )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  I
)  ->  if (
y  =  X ,  N ,  0 )  e.  NN0 )
6 eqid 2442 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )
75, 6fmptd 5866 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) : I --> NN0 )
8 id 22 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  V )
9 c0ex 9379 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  0  e.  _V )
118, 10, 6sniffsupp 7658 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) finSupp  0 )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) finSupp  0
)
13 frnnn0fsupp 10634 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) : I --> NN0 )  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) finSupp  0  <->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) )
1413adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) : I --> NN0 )  ->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) finSupp 
0  <->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
)
1514bicomd 201 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) : I --> NN0 )  ->  ( ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin  <->  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) finSupp  0 ) )
167, 15mpdan 668 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin  <->  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) finSupp  0 ) )
1712, 16mpbird 232 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
18 psrbag.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1918psrbag 17430 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) )  e.  D  <->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
2019adantr 465 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
217, 17, 20mpbir2and 913 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2718   _Vcvv 2971   ifcif 3790   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   `'ccnv 4838   "cima 4842   -->wf 5413  (class class class)co 6090    ^m cmap 7213   Fincfn 7309   finSupp cfsupp 7619   0cc0 9281   NNcn 10321   NN0cn0 10578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  17433  mvrid  17495  mvrf1  17497  mplcoe3  17544  mplcoe5  17547
  Copyright terms: Public domain W3C validator