MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snifpsrbag Structured version   Unicode version

Theorem snifpsrbag 18141
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
snifpsrbag  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) )  e.  D )
Distinct variable groups:    y, f    y, V    f, I, y   
y, D    f, X, y    f, N, y
Allowed substitution hints:    D( f)    V( f)

Proof of Theorem snifpsrbag
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
2 0nn0 10831 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  NN0 )
41, 3ifcld 3987 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  ->  if ( y  =  X ,  N ,  0 )  e.  NN0 )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  y  e.  I
)  ->  if (
y  =  X ,  N ,  0 )  e.  NN0 )
6 eqid 2457 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )
75, 6fmptd 6056 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) : I --> NN0 )
8 id 22 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  V )
9 c0ex 9607 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  0  e.  _V )
118, 10, 6sniffsupp 7887 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) finSupp  0 )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) finSupp  0
)
13 frnnn0fsupp 10872 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) : I --> NN0 )  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) finSupp  0  <->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) )
1413adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) : I --> NN0 )  ->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) finSupp 
0  <->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
)
1514bicomd 201 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) : I --> NN0 )  ->  ( ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin  <->  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) finSupp  0 ) )
167, 15mpdan 668 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin  <->  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) finSupp  0 ) )
1712, 16mpbird 232 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
18 psrbag.d . . . 4  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1918psrbag 18139 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) )  e.  D  <->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
2019adantr 465 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) )  e.  D  <->  ( (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) ) " NN )  e.  Fin ) ) )
217, 17, 20mpbir2and 922 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  N , 
0 ) )  e.  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   "cima 5011   -->wf 5590  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   0cc0 9509   NNcn 10556   NN0cn0 10816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817
This theorem is referenced by:  fczpsrbag  18142  mvrid  18205  mvrf1  18207  mplcoe3  18254  mplcoe5  18257
  Copyright terms: Public domain W3C validator