Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0lempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0lempt 39303
 Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0lempt.xph 𝑥𝜑
sge0lempt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0lempt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sge0lempt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0lempt.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0lempt.xph . . 3 𝑥𝜑
3 sge0lempt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2610 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6294 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0lempt.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7 eqid 2610 . . 3 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
82, 6, 7fmptdf 6294 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9 nfv 1830 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐴
102, 9nfan 1816 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
11 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥𝑦
1211nfcsb1 3514 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
13 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥
1411nfcsb1 3514 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
1512, 13, 14nfbr 4629 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶
1610, 15nfim 1813 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
17 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817anbi2d 736 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
19 csbeq1a 3508 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
20 csbeq1a 3508 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
2119, 20breq12d 4596 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝐶𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
2218, 21imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)))
23 sge0lempt.le . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
2416, 22, 23chvar 2250 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
25 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
26 simpl 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝜑)
2712nfel1 2765 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)
2810, 27nfim 1813 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2919eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
3018, 29imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
3128, 30, 3chvar 2250 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3226, 25, 31syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3311, 12, 19, 4fvmptf 6209 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3425, 32, 33syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
35 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑥(0[,]+∞)
3614, 35nfel 2763 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)
3710, 36nfim 1813 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3820eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
3918, 38imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
4037, 39, 6chvar 2250 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4126, 25, 40syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4211, 14, 20, 7fvmptf 6209 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4325, 41, 42syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4434, 43breq12d 4596 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
4524, 44mpbird 246 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
461, 5, 8, 45sge0le 39300 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ⦋csb 3499   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  Σ^csumge0 39255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256 This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  39308  sge0xadd  39328  meaiunlelem  39361  hoicvrrex  39446  ovnsubaddlem1  39460  sge0hsphoire  39479  hoidmv1lelem1  39481  hoidmv1lelem2  39482  hoidmv1lelem3  39483  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem4  39488  hspmbllem2  39517  ovolval5lem1  39542
 Copyright terms: Public domain W3C validator