Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0xadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xadd.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0xadd.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0xadd (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
21oveq1d 6564 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = (+∞ +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
3 sge0xadd.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
4 sge0xadd.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
5 sge0xadd.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
63, 4, 5sge0xrclmpt 39321 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ*)
7 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
83, 5, 7fmptdf 6294 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
94, 8sge0nemnf 39313 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ≠ -∞)
10 xaddpnf2 11932 . . . . 5 (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = +∞)
116, 9, 10syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (+∞ +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = +∞)
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = +∞)
13 sge0xadd.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14 ge0xaddcl 12157 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
1513, 5, 14syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
163, 4, 15sge0xrclmpt 39321 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
18 id 22 . . . . . . . 8 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
1918eqcomd 2616 . . . . . . 7 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
2019adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
214elexd 3187 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
22 iccssxr 12127 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2322, 13sseldi 3566 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423, 5xadd0ge 38477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
253, 21, 13, 15, 24sge0lempt 39303 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
2720, 26eqbrtrd 4605 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
2817, 27xrgepnfd 38488 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
2928eqcomd 2616 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
302, 12, 293eqtrrd 2649 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
31 simpl 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → 𝜑)
32 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
33 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
343, 13, 33fmptdf 6294 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
354, 34sge0repnf 39279 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
3635adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞))
3732, 36mpbird 246 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
38 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞)
3938oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒 +∞))
404, 34sge0xrcl 39278 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
414, 34sge0nemnf 39313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ≠ -∞)
42 xaddpnf1 11931 . . . . . . . 8 (((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ≠ -∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
4340, 41, 42syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
4443adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
4516adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) ∈ ℝ*)
46 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞ → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞)
4746eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞ → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
4847adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
4922, 5sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5049, 13xadd0ge2 38498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
513, 4, 5, 15, 50sge0lempt 39303 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5251adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5348, 52eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → +∞ ≤ (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5445, 53xrgepnfd 38488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = +∞)
5554eqcomd 2616 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → +∞ = (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))))
5639, 44, 553eqtrrd 2649 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
5756adantlr 747 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
58 simpl 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
59 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞)
604, 8sge0repnf 39279 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞))
6160adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞))
6259, 61mpbird 246 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
6362adantlr 747 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
644ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
65 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘Σ^
66 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
6765, 66nffv 6110 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵))
68 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘
6967, 68nfel 2763 . . . . . . . . . . . 12 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ
703, 69nfan 1816 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
71 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝐴
7270, 71nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴)
73 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
7473nfel1 2765 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞)
7572, 74nfim 1813 . . . . . . . . 9 𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
76 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
7776anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴)))
78 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
7978eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
8077, 79imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
814adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
8213adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
8470, 81, 82, 83sge0rernmpt 39315 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8575, 80, 84chvar 2250 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8685adantlr 747 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑘𝐴𝐶)
8865, 87nffv 6110 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐶))
8988, 68nfel 2763 . . . . . . . . . . . 12 𝑘^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ
903, 89nfan 1816 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
9190, 71nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑘((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴)
92 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
9392nfel1 2765 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞)
9491, 93nfim 1813 . . . . . . . . 9 𝑘(((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
9576anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴)))
96 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
9796eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞)))
9895, 97imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))))
994adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
1005adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
101 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
10290, 99, 100, 101sge0rernmpt 39315 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
10394, 98, 102chvar 2250 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
104103adantllr 751 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ (0[,)+∞))
105 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑗𝐵
106105, 73, 78cbvmpt 4677 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)
107106fveq2i 6106 . . . . . . . 8 ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵))
108 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
109107, 108syl5eqelr 2693 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) ∈ ℝ)
110 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑗𝐶
111110, 92, 96cbvmpt 4677 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)
112111fveq2i 6106 . . . . . . . 8 ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))
113 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
114112, 113syl5eqelr 2693 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)) ∈ ℝ)
11564, 86, 104, 109, 114sge0xaddlem2 39327 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) +𝑒^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))))
116 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑗(𝐵 +𝑒 𝐶)
117 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑘 +𝑒
11873, 117, 92nfov 6575 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶)
11978, 96oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶))
120116, 118, 119cbvmpt 4677 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝑗𝐴 ↦ (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶))
121120fveq2i 6106 . . . . . . 7 ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶)))
122107, 112oveq12i 6561 . . . . . . 7 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) +𝑒^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶)))
123121, 122eqeq12i 2624 . . . . . 6 ((Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))) ↔ (Σ^‘(𝑗𝐴 ↦ (𝑗 / 𝑘𝐵 +𝑒 𝑗 / 𝑘𝐶))) = ((Σ^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵)) +𝑒^‘(𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐶))))
124115, 123sylibr 223 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
12558, 63, 124syl2anc 691 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
12657, 125pm2.61dan 828 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
12731, 37, 126syl2anc 691 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞) → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
12830, 127pm2.61dan 828 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴 ↦ (𝐵 +𝑒 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) +𝑒^‘(𝑘𝐴𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   +𝑒 cxad 11820  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  Σ^csumge0 39255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256 This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  39460  hspmbllem2  39517  ovolval5lem1  39542
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