Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimresb 14144
 Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimresb (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 14082 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
3 rlimcl 14082 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 simprrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥𝐴)
86, 7sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 elicopnf 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
1312biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1413adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1514simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
1614simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑧)
17 simprrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑥)
19 elicopnf 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
218, 18, 20mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2221anassrs 678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2322anassrs 678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
24 biimt 349 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2625pm5.74da 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
27 bi2.04 375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2826, 27syl6bb 275 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
2928pm5.74da 719 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))))
30 elin 3758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
3130imbi1i 338 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
32 impexp 461 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3331, 32bitri 263 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3429, 33syl6bbr 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3534ralbidv2 2967 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3635rexbidva 3031 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3736ralbidv 2969 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4039ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4140ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
435adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
459adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4642, 43, 44, 45rlim3 14077 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
47 inss1 3795 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
4847sseli 3564 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
4948, 40sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5049ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5247, 5syl5ss 3579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5451, 53, 44, 45rlim3 14077 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
5538, 46, 543bitr4d 299 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5655ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶)))
572, 4, 56pm5.21ndd 368 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5839feqmptd 6159 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
5958breq1d 4593 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
60 resres 5329 . . . 4 ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)))
61 ffn 5958 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
62 fnresdm 5914 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6339, 61, 623syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6463reseq1d 5316 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)))
6558reseq1d 5316 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))))
66 resmpt 5369 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6747, 66ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
6865, 67syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6960, 64, 683eqtr3a 2668 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
7069breq1d 4593 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
7157, 59, 703bitr4d 299 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  abscabs 13822   ⇝𝑟 crli 14064 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052  df-rlim 14068 This theorem is referenced by:  rlimeq  14148  rlimcnp2  24493  cxp2lim  24503  pnt2  25102  pnt  25103
 Copyright terms: Public domain W3C validator