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Theorem rlimresb 13064
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimresb  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  ~~> r  C
) )

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 13002 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC ) )
3 rlimcl 13002 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC ) )
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  A  C_  RR )
7 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  A
)
86, 7sseldd 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
11 elicopnf 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  RR  ->  (
z  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) ) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_  z ) ) )
1312biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo )
)  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1413adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1514simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
1614simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  z
)
17 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  <_  x
)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  x
)
19 elicopnf 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x )
) )
218, 18, 20mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  ( B [,) +oo )
)
2221anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  ( B [,) +oo )
)
2322anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  x  e.  ( B [,) +oo )
)
24 biimt 335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y  <->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  -  C
) )  <  y  <->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2625pm5.74da 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
27 bi2.04 361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2826, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
2928pm5.74da 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) ) )
30 elin 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) ) )
3130imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
32 impexp 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3429, 33syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3534ralbidv2 2758 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
3635rexbidva 2753 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) ) )
3736ralbidv 2756 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
3837adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4039ffvelrnda 5864 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4140ralrimiva 2820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
4241adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
435adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
44 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
459adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  RR )
4642, 43, 44, 45rlim3 12997 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
47 inss1 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  C_  A
4847sseli 3373 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo )
)  ->  x  e.  A )
4948, 40sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5049ralrimiva 2820 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( F `  x
)  e.  CC )
5150adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( F `  x
)  e.  CC )
5247, 5syl5ss 3388 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
C_  RR )
5352adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  C_  RR )
5451, 53, 44, 45rlim3 12997 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
5538, 46, 543bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  ~~> r  C
) )
5655ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) ) )
572, 4, 56pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) )
5839feqmptd 5765 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
5958breq1d 4323 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
60 resres 5144 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )
61 ffn 5580 . . . . . 6  |-  ( F : A --> CC  ->  F  Fn  A )
62 fnresdm 5541 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6339, 61, 623syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6463reseq1d 5130 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( B [,) +oo )
) )
6558reseq1d 5130 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ) )
66 resmpt 5177 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) ) )
6747, 66ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )
6865, 67syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) ) )
6960, 64, 683eqtr3a 2499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) ) )
7069breq1d 4323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,) +oo )
)  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  ~~> r  C
) )
7157, 59, 703bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  ~~> r  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371    |` cres 4863    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   +oocpnf 9436    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   RR+crp 11012   [,)cico 11323   abscabs 12744    ~~> r crli 12984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-ico 11327  df-rlim 12988
This theorem is referenced by:  rlimeq  13068  rlimcnp2  22382  cxp2lim  22392  pnt2  22884  pnt  22885
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