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Theorem rlimresb 13537
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
rlimresb  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  ~~> r  C
) )

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 13475 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC ) )
3 rlimcl 13475 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC )
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  ~~> r  C  ->  C  e.  CC ) )
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
65adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  A  C_  RR )
7 simprrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  A
)
86, 7sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
109adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
11 elicopnf 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  RR  ->  (
z  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) ) )
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  B  <_  z ) ) )
1312biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo )
)  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1413adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  B  <_ 
z ) )
1514simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
1614simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  z
)
17 simprrr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  z  <_  x
)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  B  <_  x
)
19 elicopnf 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x )
) )
218, 18, 20mpbir2and 923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( B [,) +oo )  /\  ( x  e.  A  /\  z  <_  x ) ) )  ->  x  e.  ( B [,) +oo )
)
2221anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  z  <_  x ) )  ->  x  e.  ( B [,) +oo )
)
2322anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  x  e.  ( B [,) +oo )
)
24 biimt 333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y  <->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  /\  z  <_  x )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  -  C
) )  <  y  <->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2625pm5.74da 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
27 bi2.04 359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  <_  x  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
2826, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <-> 
( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
2928pm5.74da 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) ) )
30 elin 3626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) ) )
3130imbi1i 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) ) )
32 impexp 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,) +oo ) )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3331, 32bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,) +oo )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3429, 33syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo )
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) ) )
3534ralbidv2 2839 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B [,) +oo )
)  ->  ( A. x  e.  A  (
z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  C ) )  <  y )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
3635rexbidva 2915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  C ) )  < 
y ) ) )
3736ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
3837adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4039ffvelrnda 6009 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
4140ralrimiva 2818 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
4241adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  CC )
435adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
44 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  C  e.  CC )
459adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  B  e.  RR )
4642, 43, 44, 45rlim3 13470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  A  ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
47 inss1 3659 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  C_  A
4847sseli 3438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo )
)  ->  x  e.  A )
4948, 40sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
5049ralrimiva 2818 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( F `  x
)  e.  CC )
5150adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( F `  x
)  e.  CC )
5247, 5syl5ss 3453 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
C_  RR )
5352adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  C_  RR )
5451, 53, 44, 45rlim3 13470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  ( B [,) +oo ) A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  C ) )  <  y ) ) )
5538, 46, 543bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  ~~> r  C
) )
5655ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) ) )
572, 4, 56pm5.21ndd 352 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) )  |->  ( F `
 x ) )  ~~> r  C ) )
5839feqmptd 5902 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
5958breq1d 4405 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  ~~> r  C ) )
60 resres 5106 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )
61 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( F : A --> CC  ->  F  Fn  A )
62 fnresdm 5671 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6339, 61, 623syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
6463reseq1d 5093 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( F  |`  ( B [,) +oo )
) )
6558reseq1d 5093 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) ) )
66 resmpt 5143 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) ) )
6747, 66ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )
6865, 67syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) ) )
6960, 64, 683eqtr3a 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) ) )
7069breq1d 4405 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,) +oo )
)  ~~> r  C  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,) +oo ) ) 
|->  ( F `  x
) )  ~~> r  C
) )
7157, 59, 703bitr4d 285 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~> r  C  <->  ( F  |`  ( B [,) +oo ) )  ~~> r  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    i^i cin 3413    C_ wss 3414   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    |` cres 4825    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   +oocpnf 9655    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   RR+crp 11265   [,)cico 11584   abscabs 13216    ~~> r crli 13457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-ico 11588  df-rlim 13461
This theorem is referenced by:  rlimeq  13541  rlimcnp2  23622  cxp2lim  23632  pnt2  24179  pnt  24180
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