Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1resb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1resb 14145
 Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
o1resb (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 14139 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
2 rlimresb.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
32feqmptd 6159 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
43reseq1d 5316 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)))
5 resmpt3 5370 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
64, 5syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
76eleq1d 2672 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
8 inss1 3795 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
9 rlimresb.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
108, 9syl5ss 3579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
118sseli 3564 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
12 ffvelrn 6265 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
132, 11, 12syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1410, 13elo1mpt 14113 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
15 elin 3758 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
1615imbi1i 338 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
17 impexp 461 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
1816, 17bitri 263 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
19 impexp 461 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
229adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2322sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
24 elicopnf 12140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2524baibd 946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2621, 23, 25syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2726anbi1d 737 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
28 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
29 maxle 11896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3021, 28, 23, 29syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3127, 30bitr4d 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥))
3231imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
3319, 32syl5bbr 273 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
3433pm5.74da 719 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
3518, 34syl5bb 271 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
3635ralbidv2 2967 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
372adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38 simprl 790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3920adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4081 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ)
41 simprr 792 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
42 elo12r 14107 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
43423expia 1259 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 1319 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4536, 44sylbid 229 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4645rexlimdvva 3020 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4714, 46sylbid 229 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
487, 47sylbid 229 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
491, 48impbid2 215 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  abscabs 13822  𝑂(1)co1 14065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-o1 14069  df-lo1 14070 This theorem is referenced by:  chpo1ub  24969  dchrisum0lem2a  25006  pntrsumo1  25054
 Copyright terms: Public domain W3C validator