Theorem pythagtriplem1 15359

Description: Lemma for pythagtrip 15377. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem1	⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑚,𝑘   𝐵,𝑛,𝑚,𝑘   𝐶,𝑛,𝑚,𝑘

Proof of Theorem pythagtriplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 10905	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2		nncn 10905	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3		nncn 10905	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
4		sqcl 12787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
6	5	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2)↑2) ∈ ℂ)
7		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		sqcl 12787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
9		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
10	4, 8, 9	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
11		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
13	6, 12	subcld 10271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) ∈ ℂ)
14	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
15	14	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑛↑2)↑2) ∈ ℂ)
16		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
17	16	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
18		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
19	7, 17, 18	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
20	19	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
21	13, 15, 20	add32d 10142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)))
22	6, 12, 20	subadd23d 10293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))))
23		sqmul 12788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
24	7, 17, 23	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)))
25		sq2 12822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (2↑2) = 4)
27		sqmul 12788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
28	27	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑛)↑2) = ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
29	26, 28	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2↑2) · ((𝑚 · 𝑛)↑2)) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
30	24, 29	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) = (4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
31	30	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
32		4cn 10975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		2p2e4 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 2) = 4
34	32, 7, 7, 33	subaddrii 10249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 − 2) = 2
35	34	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))
36		subdir 10343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
37	32, 7, 36	mp3an12 1406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚↑2) · (𝑛↑2)) ∈ ℂ → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
38	10, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 − 2) · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) = ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
39	35, 38	syl5reqr 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((4 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
40	31, 39	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) = (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))
41	40	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2)↑2) + (((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2))))) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
42	22, 41	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))))
43	42	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) + ((𝑛↑2)↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
44	21, 43	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
45		binom2sub 12843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
46	4, 8, 45	syl2anr 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
47	46	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((((𝑚↑2)↑2) − (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
48		binom2 12841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑛↑2) ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
49	4, 8, 48	syl2anr 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2) = ((((𝑚↑2)↑2) + (2 · ((𝑚↑2) · (𝑛↑2)))) + ((𝑛↑2)↑2)))
50	44, 47, 49	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
51	50	3adant3 1074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)) = (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2))
52	51	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
53		simp3 1056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
54	4	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚↑2) ∈ ℂ)
55	8	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 10271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
57	53, 56	sqmuld 12882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)))
58	17	3adant3 1074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℂ)
59	7, 58, 18	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∈ ℂ)
60	53, 59	sqmuld 12882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2) = ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2)))
61	57, 60	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
62		sqcl 12787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
63	62	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
64	56	sqcld 12868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) ∈ ℂ)
65	59	sqcld 12868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
66	63, 64, 65	adddid 9943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))) = (((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2)) + ((𝑘↑2) · ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
67	61, 66	eqtr4d 2647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘↑2) · ((((𝑚↑2) − (𝑛↑2))↑2) + ((2 · (𝑚 · 𝑛))↑2))))
68	54, 55	addcld 9938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
69	53, 68	sqmuld 12882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2) = ((𝑘↑2) · (((𝑚↑2) + (𝑛↑2))↑2)))
70	52, 67, 69	3eqtr4d 2654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
71	1, 2, 3, 70	syl3an 1360	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
72		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) → (𝐴↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2))
73		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) → (𝐵↑2) = ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2))
74	72, 73	oveqan12d 6568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
75	74	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)))
76		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
77	76	3ad2ant3 1077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (𝐶↑2) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2))
78	75, 77	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ↔ (((𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)))↑2) + ((𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛)))↑2)) = ((𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))↑2)))
79	71, 78	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
80	79	3expa 1257	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
81	80	rexlimdva 3013	. 2 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2)))
82	81	rexlimivv 3018	1 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑘 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑘 · ((𝑚↑2) − (𝑛↑2))) ∧ 𝐵 = (𝑘 · (2 · (𝑚 · 𝑛))) ∧ 𝐶 = (𝑘 · ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)))) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  4c4 10949  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  15360