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Theorem pythagtriplem1 13888
Description: Lemma for pythagtrip 13906. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem1  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
Distinct variable groups:    A, n, m, k    B, n, m, k    C, n, m, k

Proof of Theorem pythagtriplem1
StepHypRef Expression
1 nncn 10335 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
2 nncn 10335 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3 nncn 10335 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
4 sqcl 11933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m ^ 2 )  e.  CC )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( m ^ 2 )  e.  CC )
65sqcld 12011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
7 2cn 10397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
8 sqcl 11933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
9 mulcl 9371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
104, 8, 9syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) )  e.  CC )
11 mulcl 9371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
127, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
136, 12subcld 9724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
148adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
1514sqcld 12011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( n ^
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
16 mulcl 9371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  x.  n
)  e.  CC )
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  x.  n
)  e.  CC )
18 mulcl 9371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( m  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  e.  CC )
197, 17, 18sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  e.  CC )
2019sqcld 12011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  e.  CC )
2113, 15, 20add32d 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^
2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
226, 12, 20subadd23d 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
23 sqmul 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( m  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( m  x.  n ) ^ 2 ) ) )
247, 17, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( m  x.  n ) ^
2 ) ) )
25 sq2 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  4 )
27 sqmul 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  x.  n ) ^ 2 )  =  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )
2827ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m  x.  n ) ^ 2 )  =  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )
2926, 28oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( m  x.  n
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
3024, 29eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
3130oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
32 4cn 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  CC
33 2p2e4 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  +  2 )  =  4
3432, 7, 7, 33subaddrii 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  -  2 )  =  2
3534oveq1i 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  -  2 )  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )
36 subdir 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 4  -  2 )  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
3732, 7, 36mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 4  -  2 )  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
3810, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 4  -  2 )  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
3935, 38syl5reqr 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
4140oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  +  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
4222, 41eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
4342oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
4421, 43eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^
2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
45 binom2sub 11988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
464, 8, 45syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
4746oveq1d 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
48 binom2 11986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
494, 8, 48syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
5044, 47, 493eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
51503adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )
5251oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
53 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
5443ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m ^ 2 )  e.  CC )
5583ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
5654, 55subcld 9724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
5753, 56sqmuld 12025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
58173adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  x.  n )  e.  CC )
597, 58, 18sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( m  x.  n ) )  e.  CC )
6053, 59sqmuld 12025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
6157, 60oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )  +  ( ( k ^
2 )  x.  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
62 sqcl 11933 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k ^ 2 )  e.  CC )
63623ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k ^ 2 )  e.  CC )
6456sqcld 12011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6559sqcld 12011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6663, 64, 65adddid 9415 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )  +  ( ( k ^
2 )  x.  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
6761, 66eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
6854, 55addcld 9410 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
6953, 68sqmuld 12025 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
7052, 67, 693eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
711, 2, 3, 70syl3an 1260 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
72 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
73 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )
7472, 73oveqan12d 6115 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
75743adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
76 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
77763ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( C ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )
7875, 77eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <-> 
( ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 )  +  ( ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7971, 78syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
80793expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
8180rexlimdva 2846 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) ) )
8281rexlimivv 2851 1  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721  (class class class)co 6096   CCcc 9285    + caddc 9290    x. cmul 9292    - cmin 9600   NNcn 10327   2c2 10376   4c4 10378   ^cexp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-exp 11871
This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  13889
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