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Theorem pythagtriplem1 14845
Description: Lemma for pythagtrip 14863. Prove a weaker version of one direction of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem1  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
Distinct variable groups:    A, n, m, k    B, n, m, k    C, n, m, k

Proof of Theorem pythagtriplem1
StepHypRef Expression
1 nncn 10639 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
2 nncn 10639 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3 nncn 10639 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
4 sqcl 12375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m ^ 2 )  e.  CC )
54adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( m ^ 2 )  e.  CC )
65sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
7 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
8 sqcl 12375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
9 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
104, 8, 9syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) )  e.  CC )
11 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
127, 10, 11sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  e.  CC )
136, 12subcld 10005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
148adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( n ^ 2 )  e.  CC )
1514sqcld 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( n ^
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
16 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( m  x.  n
)  e.  CC )
1716ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  x.  n
)  e.  CC )
18 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( m  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  e.  CC )
197, 17, 18sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  e.  CC )
2019sqcld 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  e.  CC )
2113, 15, 20add32d 9877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^
2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
226, 12, 20subadd23d 10027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
23 sqmul 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( m  x.  n
)  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( m  x.  n ) ^ 2 ) ) )
247, 17, 23sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( m  x.  n ) ^
2 ) ) )
25 sq2 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  4 )
27 sqmul 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( m  x.  n ) ^ 2 )  =  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )
2827ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( m  x.  n ) ^ 2 )  =  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )
2926, 28oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
( m  x.  n
) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
3024, 29eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
3130oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
32 4cn 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  CC
33 2p2e4 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  +  2 )  =  4
3432, 7, 7, 33subaddrii 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  -  2 )  =  2
3534oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  -  2 )  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )
36 subdir 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 4  -  2 )  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
3732, 7, 36mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  e.  CC  ->  (
( 4  -  2 )  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
3810, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 4  -  2 )  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
3935, 38syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
4031, 39eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )
4140oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  +  ( ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
4222, 41eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) ) )
4342oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
4421, 43eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^
2 )  x.  (
n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^
2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
45 binom2sub 12429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
464, 8, 45syl2anr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
4746oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
48 binom2 12427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m ^ 2 )  e.  CC  /\  ( n ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( m ^ 2 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^
2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^ 2 ) ) )
494, 8, 48syl2anr 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( m ^
2 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( m ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( n ^ 2 ) ^
2 ) ) )
5044, 47, 493eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
51503adant3 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )
5251oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
53 simp3 1032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
5443ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m ^ 2 )  e.  CC )
5583ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
5654, 55subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
5753, 56sqmuld 12466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
58173adant3 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  x.  n )  e.  CC )
597, 58, 18sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( m  x.  n ) )  e.  CC )
6053, 59sqmuld 12466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
6157, 60oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )  +  ( ( k ^
2 )  x.  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
62 sqcl 12375 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k ^ 2 )  e.  CC )
63623ad2ant3 1053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k ^ 2 )  e.  CC )
6456sqcld 12452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6559sqcld 12452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6663, 64, 65adddid 9685 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 ) )  +  ( ( k ^
2 )  x.  (
( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
6761, 66eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ^
2 )  +  ( ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
6854, 55addcld 9680 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  e.  CC )
6953, 68sqmuld 12466 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
7052, 67, 693eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
711, 2, 3, 70syl3an 1334 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 ) )
72 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
73 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )
7472, 73oveqan12d 6327 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
75743adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
76 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
77763ad2ant3 1053 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( C ^ 2 )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ^ 2 ) )
7875, 77eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <-> 
( ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ^
2 )  +  ( ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
7971, 78syl5ibrcom 230 . . . 4  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
80793expa 1231 . . 3  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
8180rexlimdva 2871 . 2  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) ) )
8281rexlimivv 2876 1  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757  (class class class)co 6308   CCcc 9555    + caddc 9560    x. cmul 9562    - cmin 9880   NNcn 10631   2c2 10681   4c4 10683   ^cexp 12310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-exp 12311
This theorem is referenced by:  pythagtriplem2  14846
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