Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsvscacl 18789
 Description: Pointwise scalar multiplication is closed in products of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsvscacl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsvscacl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscacl.t · = ( ·𝑠𝑌)
prdsvscacl.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscacl.s (𝜑𝑆 ∈ Ring)
prdsvscacl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsvscacl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶LMod)
prdsvscacl.f (𝜑𝐹𝐾)
prdsvscacl.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsvscacl.sr ((𝜑𝑥𝐼) → (Scalar‘(𝑅𝑥)) = 𝑆)
Assertion
Ref Expression
prdsvscacl (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   · (𝑥)

Proof of Theorem prdsvscacl
StepHypRef Expression
1 prdsvscacl.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsvscacl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsvscacl.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑌)
4 prdsvscacl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
5 prdsvscacl.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
6 prdsvscacl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
7 prdsvscacl.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶LMod)
8 ffn 5958 . . . 4 (𝑅:𝐼⟶LMod → 𝑅 Fn 𝐼)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
10 prdsvscacl.f . . 3 (𝜑𝐹𝐾)
11 prdsvscacl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11prdsvscaval 15962 . 2 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
137ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ LMod)
1410adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐾)
15 prdsvscacl.sr . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (Scalar‘(𝑅𝑥)) = 𝑆)
1615fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))) = (Base‘𝑆))
1716, 4syl6eqr 2662 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))) = 𝐾)
1814, 17eleqtrrd 2691 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))))
195adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
206adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
219adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺𝐵)
23 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
241, 2, 19, 20, 21, 22, 23prdsbasprj 15955 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
25 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
26 eqid 2610 . . . . . 6 (Scalar‘(𝑅𝑥)) = (Scalar‘(𝑅𝑥))
27 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))
28 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥)))
2925, 26, 27, 28lmodvscl 18703 . . . . 5 (((𝑅𝑥) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
3013, 18, 24, 29syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
3130ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
321, 2, 5, 6, 9prdsbasmpt 15953 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))))
3331, 32mpbird 246 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ 𝐵)
3412, 33eqeltrd 2688 1 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Xscprds 15929  Ringcrg 18370  LModclmod 18686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-lmod 18688 This theorem is referenced by:  prdslmodd  18790
 Copyright terms: Public domain W3C validator