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Theorem pconcon 30467
 Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pconcon (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Con)

Proof of Theorem pconcon
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1033 . . . 4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
2 n0 3890 . . . . . . . 8 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎𝑥)
3 n0 3890 . . . . . . . 8 (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝑦)
42, 3anbi12i 729 . . . . . . 7 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ↔ (∃𝑎 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏 𝑏𝑦))
5 eeanv 2170 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦) ↔ (∃𝑎 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏 𝑏𝑦))
64, 5bitr4i 266 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦))
7 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝐽 ∈ PCon)
8 simprll 798 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑎𝑥)
9 simplrl 796 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑥𝐽)
10 elunii 4377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑥𝑥𝐽) → 𝑎 𝐽)
118, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑎 𝐽)
12 simprlr 799 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑏𝑦)
13 simplrr 797 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑦𝐽)
14 elunii 4377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑦𝑦𝐽) → 𝑏 𝐽)
1512, 13, 14syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑏 𝐽)
16 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
1716pconcn 30460 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑎 𝐽𝑏 𝐽) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))
187, 11, 15, 17syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))
19 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) = ∅)
20 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽) → (𝑓‘1) = 𝑏)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘1) = 𝑏)
22 iiuni 22492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) = II
23 iicon 22498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II ∈ Con
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → II ∈ Con)
25 simprll 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
269adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑥𝐽)
27 uncom 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑥) = (𝑥𝑦)
28 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) = 𝐽)
2927, 28syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑦𝑥) = 𝐽)
3013adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑦𝐽)
31 elssuni 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐽𝑦 𝐽)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑦 𝐽)
33 incom 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑥) = (𝑥𝑦)
3433, 19syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑦𝑥) = ∅)
35 uneqdifeq 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 𝐽 ∧ (𝑦𝑥) = ∅) → ((𝑦𝑥) = 𝐽 ↔ ( 𝐽𝑦) = 𝑥))
3632, 34, 35syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ((𝑦𝑥) = 𝐽 ↔ ( 𝐽𝑦) = 𝑥))
3729, 36mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ( 𝐽𝑦) = 𝑥)
38 pcontop 30461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Top)
3938ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
4016opncld 20647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽) → ( 𝐽𝑦) ∈ (Clsd‘𝐽))
4139, 30, 40syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ( 𝐽𝑦) ∈ (Clsd‘𝐽))
4237, 41eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
43 0elunit 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,]1)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 0 ∈ (0[,]1))
45 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽) → (𝑓‘0) = 𝑎)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘0) = 𝑎)
478adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑎𝑥)
4846, 47eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑥)
4922, 24, 25, 26, 42, 44, 48concn 21039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑥)
50 1elunit 12162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0[,]1)
51 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑥 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘1) ∈ 𝑥)
5249, 50, 51sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘1) ∈ 𝑥)
5321, 52eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑏𝑥)
5412adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑏𝑦)
55 inelcm 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑥𝑏𝑦) → (𝑥𝑦) ≠ ∅)
5653, 54, 55syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) ≠ ∅)
5719, 56pm2.21ddne 2866 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽)
5857expr 641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → ((𝑥𝑦) = 𝐽 → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽))
5958pm2.01d 180 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽)
6059neqned 2789 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)
6118, 60rexlimddv 3017 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)
6261exp32 629 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
6362exlimdvv 1849 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
646, 63syl5bi 231 . . . . 5 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
6564impd 446 . . . 4 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
661, 65syl5bi 231 . . 3 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
6766ralrimivva 2954 . 2 (𝐽 ∈ PCon → ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
6816toptopon 20548 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
6938, 68sylib 207 . . 3 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
70 dfcon2 21032 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
7169, 70syl 17 . 2 (𝐽 ∈ PCon → (𝐽 ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
7267, 71mpbird 246 1 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Con)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  Clsdccld 20630   Cn ccn 20838  Conccon 21024  IIcii 22486  PConcpcon 30455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-cn 20841  df-con 21025  df-ii 22488  df-pcon 30457 This theorem is referenced by:  rescon  30482  iinllycon  30490  cvmlift2lem10  30548  cvmlift3  30564
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