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Theorem pconcon 30467
Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pconcon (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Con)

Proof of Theorem pconcon
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1033 . . . 4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑦) = ∅))
2 n0 3890 . . . . . . . 8 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎𝑥)
3 n0 3890 . . . . . . . 8 (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝑦)
42, 3anbi12i 729 . . . . . . 7 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ↔ (∃𝑎 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏 𝑏𝑦))
5 eeanv 2170 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦) ↔ (∃𝑎 𝑎𝑥 ∧ ∃𝑏 𝑏𝑦))
64, 5bitr4i 266 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ↔ ∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦))
7 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝐽 ∈ PCon)
8 simprll 798 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑎𝑥)
9 simplrl 796 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑥𝐽)
10 elunii 4377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑥𝑥𝐽) → 𝑎 𝐽)
118, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑎 𝐽)
12 simprlr 799 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑏𝑦)
13 simplrr 797 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑦𝐽)
14 elunii 4377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑦𝑦𝐽) → 𝑏 𝐽)
1512, 13, 14syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → 𝑏 𝐽)
16 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
1716pconcn 30460 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝑎 𝐽𝑏 𝐽) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))
187, 11, 15, 17syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))
19 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) = ∅)
20 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽) → (𝑓‘1) = 𝑏)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘1) = 𝑏)
22 iiuni 22492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) = II
23 iicon 22498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II ∈ Con
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → II ∈ Con)
25 simprll 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
269adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑥𝐽)
27 uncom 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑥) = (𝑥𝑦)
28 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) = 𝐽)
2927, 28syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑦𝑥) = 𝐽)
3013adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑦𝐽)
31 elssuni 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐽𝑦 𝐽)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑦 𝐽)
33 incom 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑥) = (𝑥𝑦)
3433, 19syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑦𝑥) = ∅)
35 uneqdifeq 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 𝐽 ∧ (𝑦𝑥) = ∅) → ((𝑦𝑥) = 𝐽 ↔ ( 𝐽𝑦) = 𝑥))
3632, 34, 35syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ((𝑦𝑥) = 𝐽 ↔ ( 𝐽𝑦) = 𝑥))
3729, 36mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ( 𝐽𝑦) = 𝑥)
38 pcontop 30461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Top)
3938ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
4016opncld 20647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽) → ( 𝐽𝑦) ∈ (Clsd‘𝐽))
4139, 30, 40syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ( 𝐽𝑦) ∈ (Clsd‘𝐽))
4237, 41eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
43 0elunit 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ (0[,]1)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 0 ∈ (0[,]1))
45 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽) → (𝑓‘0) = 𝑎)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘0) = 𝑎)
478adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑎𝑥)
4846, 47eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘0) ∈ 𝑥)
4922, 24, 25, 26, 42, 44, 48concn 21039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑓:(0[,]1)⟶𝑥)
50 1elunit 12162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0[,]1)
51 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(0[,]1)⟶𝑥 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑓‘1) ∈ 𝑥)
5249, 50, 51sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑓‘1) ∈ 𝑥)
5321, 52eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑏𝑥)
5412adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → 𝑏𝑦)
55 inelcm 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑥𝑏𝑦) → (𝑥𝑦) ≠ ∅)
5653, 54, 55syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → (𝑥𝑦) ≠ ∅)
5719, 56pm2.21ddne 2866 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏)) ∧ (𝑥𝑦) = 𝐽)) → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽)
5857expr 641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → ((𝑥𝑦) = 𝐽 → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽))
5958pm2.01d 180 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → ¬ (𝑥𝑦) = 𝐽)
6059neqned 2789 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑎 ∧ (𝑓‘1) = 𝑏))) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)
6118, 60rexlimddv 3017 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) ∧ ((𝑎𝑥𝑏𝑦) ∧ (𝑥𝑦) = ∅)) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)
6261exp32 629 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑎𝑥𝑏𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
6362exlimdvv 1849 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (∃𝑎𝑏(𝑎𝑥𝑏𝑦) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
646, 63syl5bi 231 . . . . 5 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ((𝑥𝑦) = ∅ → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
6564impd 446 . . . 4 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
661, 65syl5bi 231 . . 3 ((𝐽 ∈ PCon ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
6766ralrimivva 2954 . 2 (𝐽 ∈ PCon → ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽))
6816toptopon 20548 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
6938, 68sylib 207 . . 3 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
70 dfcon2 21032 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝐽 ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
7169, 70syl 17 . 2 (𝐽 ∈ PCon → (𝐽 ∈ Con ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) ≠ 𝐽)))
7267, 71mpbird 246 1 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Con)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  cdif 3537  cun 3538  cin 3539  wss 3540  c0 3874   cuni 4372  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  Clsdccld 20630   Cn ccn 20838  Conccon 21024  IIcii 22486  PConcpcon 30455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-cn 20841  df-con 21025  df-ii 22488  df-pcon 30457
This theorem is referenced by:  rescon  30482  iinllycon  30490  cvmlift2lem10  30548  cvmlift3  30564
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