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Theorem pconcon 28542
Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pconcon  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )

Proof of Theorem pconcon
Dummy variables  a 
b  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 974 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2 n0 3776 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  x )
3 n0 3776 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  y )
42, 3anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( E. a  a  e.  x  /\  E. b  b  e.  y ) )
5 eeanv 1972 . . . . . . 7  |-  ( E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y )  <->  ( E. a  a  e.  x  /\  E. b 
b  e.  y ) )
64, 5bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y ) )
7 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e. PCon )
8 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  a  e.  x )
9 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
10 elunii 4235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  x  /\  x  e.  J )  ->  a  e.  U. J
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  a  e.  U. J )
12 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  b  e.  y )
13 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  e.  J )
14 elunii 4235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  y  /\  y  e.  J )  ->  b  e.  U. J
)
1512, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  b  e.  U. J )
16 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
1716pconcn 28535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. PCon  /\  a  e.  U. J  /\  b  e.  U. J )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) )
187, 11, 15, 17syl3anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )
19 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
20 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
)  ->  ( f `  1 )  =  b )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  1 )  =  b )
22 iiuni 21251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
23 iicon 21257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  II  e.  Con
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  II  e.  Con )
25 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
269adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  x  e.  J )
27 uncom 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  x )  =  ( x  u.  y
)
28 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  u.  y )  =  U. J )
2927, 28syl5eq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
y  u.  x )  =  U. J )
3013adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  y  e.  J )
31 elssuni 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  y  C_ 
U. J )
33 incom 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
3433, 19syl5eq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
y  i^i  x )  =  (/) )
35 uneqdifeq 3898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  C_  U. J  /\  ( y  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( ( y  u.  x )  =  U. J 
<->  ( U. J  \ 
y )  =  x ) )
3632, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
( y  u.  x
)  =  U. J  <->  ( U. J  \  y
)  =  x ) )
3729, 36mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  ( U. J  \  y
)  =  x )
38 pcontop 28536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Top )
3938ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  J  e.  Top )
4016opncld 19400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
4139, 30, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4237, 41eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) )
43 0elunit 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] 1
) )
45 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
)  ->  ( f `  0 )  =  a )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  0 )  =  a )
478adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  a  e.  x )
4846, 47eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  0 )  e.  x )
4922, 24, 25, 26, 42, 44, 48concn 19793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50 1elunit 11643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
51 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( f `  1 )  e.  x )
5249, 50, 51sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  1 )  e.  x )
5321, 52eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  b  e.  x )
5412adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  b  e.  y )
55 inelcm 3863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) )
5653, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) )
5719, 56pm2.21ddne 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  -.  ( x  u.  y
)  =  U. J
)
5857expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  -> 
( ( x  u.  y )  =  U. J  ->  -.  ( x  u.  y )  =  U. J ) )
5958pm2.01d 169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  ->  -.  ( x  u.  y
)  =  U. J
)
6059neqned 2644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  -> 
( x  u.  y
)  =/=  U. J
)
6118, 60rexlimddv 2937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )
6261exp32 605 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
a  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( x  u.  y
)  =/=  U. J
) ) )
6362exlimdvv 1710 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
646, 63syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
6564impd 431 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )
661, 65syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
6766ralrimivva 2862 . 2  |-  ( J  e. PCon  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )
6816toptopon 19301 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6938, 68sylib 196 . . 3  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
70 dfcon2 19786 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7169, 70syl 16 . 2  |-  ( J  e. PCon  ->  ( J  e. 
Con 
<-> 
A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7267, 71mpbird 232 1  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792    \ cdif 3455    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   U.cuni 4230   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   0cc0 9490   1c1 9491   [,]cicc 11536   Topctop 19261  TopOnctopon 19262   Clsdccld 19383    Cn ccn 19591   Conccon 19778   IIcii 21245  PConcpcon 28530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fi 7869  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ico 11539  df-icc 11540  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-rest 14692  df-topgen 14713  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cld 19386  df-cn 19594  df-con 19779  df-ii 21247  df-pcon 28532
This theorem is referenced by:  rescon  28557  iinllycon  28565  cvmlift2lem10  28623  cvmlift3  28639
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