Theorem pconcon 26968

Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pconcon	|- ( J e. PCon -> J e. Con )

Proof of Theorem pconcon

Dummy variables a b f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 960	. . . 4 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
2		n0 3634	. . . . . . . 8 |- ( x =/= (/) <-> E. a a e. x )
3		n0 3634	. . . . . . . 8 |- ( y =/= (/) <-> E. b b e. y )
4	2, 3	anbi12i 690	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
5		eeanv 1930	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
6	4, 5	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) )
7		simpll 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. PCon )
8		simprll 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. x )
9		simplrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
10		elunii 4084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. x /\ x e. J ) -> a e. U. J )
11	8, 9, 10	syl2anc 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. U. J )
12		simprlr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. y )
13		simplrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
14		elunii 4084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. y /\ y e. J ) -> b e. U. J )
15	12, 13, 14	syl2anc 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. U. J )
16		eqid 2433	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
17	16	pconcn 26961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. PCon /\ a e. U. J /\ b e. U. J ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
18	7, 11, 15, 17	syl3anc 1211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
19		simplrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
20		simplrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 1 ) = b )
21	20	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) = b )
22		iiuni 20299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23		iicon 20305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. Con
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> II e. Con )
25		simprll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f e. ( II Cn J ) )
26	9	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. J )
27		uncom 3488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. x ) = ( x u. y )
28		simprr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x u. y ) = U. J )
29	27, 28	syl5eq 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y u. x ) = U. J )
30	13	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y e. J )
31		elssuni 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y C_ U. J )
33		incom 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
34	33, 19	syl5eq 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y i^i x ) = (/) )
35		uneqdifeq 3755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y C_ U. J /\ ( y i^i x ) = (/) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
37	29, 36	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) = x )
38		pcontop 26962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. PCon -> J e. Top )
39	38	ad3antrrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> J e. Top )
40	16	opncld 18479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
41	39, 30, 40	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
42	37, 41	eqeltrrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
43		0elunit 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
45		simplrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 0 ) = a )
46	45	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) = a )
47	8	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> a e. x )
48	46, 47	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) e. x )
49	22, 24, 25, 26, 42, 44, 48	concn 18872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50		1elunit 11391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
51		ffvelrn 5829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
52	49, 50, 51	sylancl 655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
53	21, 52	eqeltrrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. x )
54	12	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. y )
55		inelcm 3721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. x /\ b e. y ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
56	53, 54, 55	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
57	19, 56	pm2.21ddne 2675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
58	57	expr 610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( ( x u. y ) = U. J -> -. ( x u. y ) = U. J ) )
59	58	pm2.01d 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
60	59	neneqad 2671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
61	18, 60	rexlimddv 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
62	61	exp32 600	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
63	62	exlimdvv 1690	. . . . . 6 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
64	6, 63	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
65	64	imp3a 431	. . . 4 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
66	1, 65	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
67	66	ralrimivva 2798	. 2 |- ( J e. PCon -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
68	16	toptopon 18380	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
69	38, 68	sylib 196	. . 3 |- ( J e. PCon -> J e. (TopOn ` U. J ) )
70		dfcon2 18865	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
71	69, 70	syl 16	. 2 |- ( J e. PCon -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
72	67, 71	mpbird 232	1 |- ( J e. PCon -> J e. Con )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   E.wex 1589   e. wcel 1755   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   \ cdif 3313   u. cun 3314   i^i cin 3315   C_ wss 3316   (/)c0 3625   U.cuni 4079   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271   [,]cicc 11291   Topctop 18340  TopOnctopon 18341   Clsdccld 18462   Cn ccn 18670   Conccon 18857   IIcii 20293  PConcpcon 26956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-rest 14344  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cld 18465  df-cn 18673  df-con 18858  df-ii 20295  df-pcon 26958

This theorem is referenced by:  rescon  26983  iinllycon  26991  cvmlift2lem10  27049  cvmlift3  27065