Theorem pconcon 28344

Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pconcon	|- ( J e. PCon -> J e. Con )

Proof of Theorem pconcon

Dummy variables a b f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 975	. . . 4 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
2		n0 3794	. . . . . . . 8 |- ( x =/= (/) <-> E. a a e. x )
3		n0 3794	. . . . . . . 8 |- ( y =/= (/) <-> E. b b e. y )
4	2, 3	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
5		eeanv 1957	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
6	4, 5	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) )
7		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. PCon )
8		simprll 761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. x )
9		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
10		elunii 4250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. x /\ x e. J ) -> a e. U. J )
11	8, 9, 10	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. U. J )
12		simprlr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. y )
13		simplrr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
14		elunii 4250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. y /\ y e. J ) -> b e. U. J )
15	12, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. U. J )
16		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
17	16	pconcn 28337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. PCon /\ a e. U. J /\ b e. U. J ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
18	7, 11, 15, 17	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
19		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
20		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 1 ) = b )
21	20	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) = b )
22		iiuni 21148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23		iicon 21154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. Con
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> II e. Con )
25		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f e. ( II Cn J ) )
26	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. J )
27		uncom 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. x ) = ( x u. y )
28		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x u. y ) = U. J )
29	27, 28	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y u. x ) = U. J )
30	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y e. J )
31		elssuni 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y C_ U. J )
33		incom 3691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
34	33, 19	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y i^i x ) = (/) )
35		uneqdifeq 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y C_ U. J /\ ( y i^i x ) = (/) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
37	29, 36	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) = x )
38		pcontop 28338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. PCon -> J e. Top )
39	38	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> J e. Top )
40	16	opncld 19328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
41	39, 30, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
42	37, 41	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
43		0elunit 11638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
45		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 0 ) = a )
46	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) = a )
47	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> a e. x )
48	46, 47	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) e. x )
49	22, 24, 25, 26, 42, 44, 48	concn 19721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50		1elunit 11639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
51		ffvelrn 6019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
52	49, 50, 51	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
53	21, 52	eqeltrrd 2556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. x )
54	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. y )
55		inelcm 3881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. x /\ b e. y ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
56	53, 54, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
57	19, 56	pm2.21ddne 2781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
58	57	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( ( x u. y ) = U. J -> -. ( x u. y ) = U. J ) )
59	58	pm2.01d 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
60	59	neqned 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
61	18, 60	rexlimddv 2959	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
62	61	exp32 605	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
63	62	exlimdvv 1701	. . . . . 6 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
64	6, 63	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
65	64	impd 431	. . . 4 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
66	1, 65	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
67	66	ralrimivva 2885	. 2 |- ( J e. PCon -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
68	16	toptopon 19229	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
69	38, 68	sylib 196	. . 3 |- ( J e. PCon -> J e. (TopOn ` U. J ) )
70		dfcon2 19714	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
71	69, 70	syl 16	. 2 |- ( J e. PCon -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
72	67, 71	mpbird 232	1 |- ( J e. PCon -> J e. Con )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493   [,]cicc 11532   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   Clsdccld 19311   Cn ccn 19519   Conccon 19706   IIcii 21142  PConcpcon 28332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cld 19314  df-cn 19522  df-con 19707  df-ii 21144  df-pcon 28334

This theorem is referenced by:  rescon  28359  iinllycon  28367  cvmlift2lem10  28425  cvmlift3  28441