Theorem pconcon 29947

Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pconcon	|- ( J e. PCon -> J e. Con )

Proof of Theorem pconcon

Dummy variables a b f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 986	. . . 4 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
2		n0 3740	. . . . . . . 8 |- ( x =/= (/) <-> E. a a e. x )
3		n0 3740	. . . . . . . 8 |- ( y =/= (/) <-> E. b b e. y )
4	2, 3	anbi12i 702	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
5		eeanv 2077	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
6	4, 5	bitr4i 256	. . . . . 6 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) )
7		simpll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. PCon )
8		simprll 771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. x )
9		simplrl 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
10		elunii 4202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. x /\ x e. J ) -> a e. U. J )
11	8, 9, 10	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. U. J )
12		simprlr 772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. y )
13		simplrr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
14		elunii 4202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. y /\ y e. J ) -> b e. U. J )
15	12, 13, 14	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. U. J )
16		eqid 2450	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
17	16	pconcn 29940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. PCon /\ a e. U. J /\ b e. U. J ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
18	7, 11, 15, 17	syl3anc 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
19		simplrr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
20		simplrr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 1 ) = b )
21	20	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) = b )
22		iiuni 21906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23		iicon 21912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. Con
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> II e. Con )
25		simprll 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f e. ( II Cn J ) )
26	9	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. J )
27		uncom 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. x ) = ( x u. y )
28		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x u. y ) = U. J )
29	27, 28	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y u. x ) = U. J )
30	13	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y e. J )
31		elssuni 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y C_ U. J )
33		incom 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
34	33, 19	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y i^i x ) = (/) )
35		uneqdifeq 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y C_ U. J /\ ( y i^i x ) = (/) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
37	29, 36	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) = x )
38		pcontop 29941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. PCon -> J e. Top )
39	38	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> J e. Top )
40	16	opncld 20041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
41	39, 30, 40	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
42	37, 41	eqeltrrd 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
43		0elunit 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
45		simplrl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 0 ) = a )
46	45	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) = a )
47	8	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> a e. x )
48	46, 47	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) e. x )
49	22, 24, 25, 26, 42, 44, 48	concn 20434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50		1elunit 11748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
51		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
52	49, 50, 51	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
53	21, 52	eqeltrrd 2529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. x )
54	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. y )
55		inelcm 3818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. x /\ b e. y ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
56	53, 54, 55	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
57	19, 56	pm2.21ddne 2707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
58	57	expr 619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( ( x u. y ) = U. J -> -. ( x u. y ) = U. J ) )
59	58	pm2.01d 173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
60	59	neqned 2630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
61	18, 60	rexlimddv 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
62	61	exp32 609	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
63	62	exlimdvv 1779	. . . . . 6 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
64	6, 63	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
65	64	impd 433	. . . 4 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
66	1, 65	syl5bi 221	. . 3 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
67	66	ralrimivva 2808	. 2 |- ( J e. PCon -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
68	16	toptopon 19941	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
69	38, 68	sylib 200	. . 3 |- ( J e. PCon -> J e. (TopOn ` U. J ) )
70		dfcon2 20427	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
71	69, 70	syl 17	. 2 |- ( J e. PCon -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
72	67, 71	mpbird 236	1 |- ( J e. PCon -> J e. Con )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   \ cdif 3400   u. cun 3401   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   U.cuni 4197   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   1c1 9537   [,]cicc 11635   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   Clsdccld 20024   Cn ccn 20233   Conccon 20419   IIcii 21900  PConcpcon 29935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-cn 20236  df-con 20420  df-ii 21902  df-pcon 29937

This theorem is referenced by:  rescon  29962  iinllycon  29970  cvmlift2lem10  30028  cvmlift3  30044