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Theorem pconcon 30026
Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pconcon  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )

Proof of Theorem pconcon
Dummy variables  a 
b  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1009 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2 n0 3732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  x )
3 n0 3732 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  y )
42, 3anbi12i 711 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( E. a  a  e.  x  /\  E. b  b  e.  y ) )
5 eeanv 2093 . . . . . . 7  |-  ( E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y )  <->  ( E. a  a  e.  x  /\  E. b 
b  e.  y ) )
64, 5bitr4i 260 . . . . . 6  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y ) )
7 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e. PCon )
8 simprll 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  a  e.  x )
9 simplrl 778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
10 elunii 4195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  x  /\  x  e.  J )  ->  a  e.  U. J
)
118, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  a  e.  U. J )
12 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  b  e.  y )
13 simplrr 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  e.  J )
14 elunii 4195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  y  /\  y  e.  J )  ->  b  e.  U. J
)
1512, 13, 14syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  b  e.  U. J )
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
1716pconcn 30019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. PCon  /\  a  e.  U. J  /\  b  e.  U. J )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) )
187, 11, 15, 17syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )
19 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
20 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
)  ->  ( f `  1 )  =  b )
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  1 )  =  b )
22 iiuni 21991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
23 iicon 21997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  II  e.  Con
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  II  e.  Con )
25 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
269adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  x  e.  J )
27 uncom 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  x )  =  ( x  u.  y
)
28 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  u.  y )  =  U. J )
2927, 28syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
y  u.  x )  =  U. J )
3013adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  y  e.  J )
31 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  y  C_ 
U. J )
33 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
3433, 19syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
y  i^i  x )  =  (/) )
35 uneqdifeq 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  C_  U. J  /\  ( y  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( ( y  u.  x )  =  U. J 
<->  ( U. J  \ 
y )  =  x ) )
3632, 34, 35syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
( y  u.  x
)  =  U. J  <->  ( U. J  \  y
)  =  x ) )
3729, 36mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  ( U. J  \  y
)  =  x )
38 pcontop 30020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Top )
3938ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  J  e.  Top )
4016opncld 20125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
4139, 30, 40syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4237, 41eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) )
43 0elunit 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] 1
) )
45 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
)  ->  ( f `  0 )  =  a )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  0 )  =  a )
478adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  a  e.  x )
4846, 47eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  0 )  e.  x )
4922, 24, 25, 26, 42, 44, 48concn 20518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50 1elunit 11777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
51 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( f `  1 )  e.  x )
5249, 50, 51sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  1 )  e.  x )
5321, 52eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  b  e.  x )
5412adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  b  e.  y )
55 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) )
5653, 54, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) )
5719, 56pm2.21ddne 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  -.  ( x  u.  y
)  =  U. J
)
5857expr 626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  -> 
( ( x  u.  y )  =  U. J  ->  -.  ( x  u.  y )  =  U. J ) )
5958pm2.01d 174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  ->  -.  ( x  u.  y
)  =  U. J
)
6059neqned 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  -> 
( x  u.  y
)  =/=  U. J
)
6118, 60rexlimddv 2875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )
6261exp32 616 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
a  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( x  u.  y
)  =/=  U. J
) ) )
6362exlimdvv 1788 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
646, 63syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
6564impd 438 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )
661, 65syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
6766ralrimivva 2814 . 2  |-  ( J  e. PCon  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )
6816toptopon 20025 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6938, 68sylib 201 . . 3  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
70 dfcon2 20511 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7169, 70syl 17 . 2  |-  ( J  e. PCon  ->  ( J  e. 
Con 
<-> 
A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7267, 71mpbird 240 1  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   [,]cicc 11663   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108    Cn ccn 20317   Conccon 20503   IIcii 21985  PConcpcon 30014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cn 20320  df-con 20504  df-ii 21987  df-pcon 30016
This theorem is referenced by:  rescon  30041  iinllycon  30049  cvmlift2lem10  30107  cvmlift3  30123
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