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Theorem pconcon 26968
Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pconcon  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )

Proof of Theorem pconcon
Dummy variables  a 
b  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 960 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2 n0 3634 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  x )
3 n0 3634 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  y )
42, 3anbi12i 690 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( E. a  a  e.  x  /\  E. b  b  e.  y ) )
5 eeanv 1930 . . . . . . 7  |-  ( E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y )  <->  ( E. a  a  e.  x  /\  E. b 
b  e.  y ) )
64, 5bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y ) )
7 simpll 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e. PCon )
8 simprll 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  a  e.  x )
9 simplrl 752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
10 elunii 4084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  x  /\  x  e.  J )  ->  a  e.  U. J
)
118, 9, 10syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  a  e.  U. J )
12 simprlr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  b  e.  y )
13 simplrr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  e.  J )
14 elunii 4084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  y  /\  y  e.  J )  ->  b  e.  U. J
)
1512, 13, 14syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  b  e.  U. J )
16 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
1716pconcn 26961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. PCon  /\  a  e.  U. J  /\  b  e.  U. J )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) )
187, 11, 15, 17syl3anc 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )
19 simplrr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
20 simplrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
)  ->  ( f `  1 )  =  b )
2120adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  1 )  =  b )
22 iiuni 20299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
23 iicon 20305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  II  e.  Con
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  II  e.  Con )
25 simprll 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
269adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  x  e.  J )
27 uncom 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  x )  =  ( x  u.  y
)
28 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  u.  y )  =  U. J )
2927, 28syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
y  u.  x )  =  U. J )
3013adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  y  e.  J )
31 elssuni 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  y  C_ 
U. J )
33 incom 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
3433, 19syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
y  i^i  x )  =  (/) )
35 uneqdifeq 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  C_  U. J  /\  ( y  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( ( y  u.  x )  =  U. J 
<->  ( U. J  \ 
y )  =  x ) )
3632, 34, 35syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
( y  u.  x
)  =  U. J  <->  ( U. J  \  y
)  =  x ) )
3729, 36mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  ( U. J  \  y
)  =  x )
38 pcontop 26962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Top )
3938ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  J  e.  Top )
4016opncld 18479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
4139, 30, 40syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4237, 41eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) )
43 0elunit 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] 1
) )
45 simplrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
)  ->  ( f `  0 )  =  a )
4645adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  0 )  =  a )
478adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  a  e.  x )
4846, 47eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  0 )  e.  x )
4922, 24, 25, 26, 42, 44, 48concn 18872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50 1elunit 11391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
51 ffvelrn 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( f `  1 )  e.  x )
5249, 50, 51sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  1 )  e.  x )
5321, 52eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  b  e.  x )
5412adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  b  e.  y )
55 inelcm 3721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) )
5653, 54, 55syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) )
5719, 56pm2.21ddne 2675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  -.  ( x  u.  y
)  =  U. J
)
5857expr 610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  -> 
( ( x  u.  y )  =  U. J  ->  -.  ( x  u.  y )  =  U. J ) )
5958pm2.01d 169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  ->  -.  ( x  u.  y
)  =  U. J
)
6059neneqad 2671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  -> 
( x  u.  y
)  =/=  U. J
)
6118, 60rexlimddv 2835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )
6261exp32 600 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
a  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( x  u.  y
)  =/=  U. J
) ) )
6362exlimdvv 1690 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
646, 63syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
6564imp3a 431 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )
661, 65syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
6766ralrimivva 2798 . 2  |-  ( J  e. PCon  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )
6816toptopon 18380 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6938, 68sylib 196 . . 3  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
70 dfcon2 18865 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7169, 70syl 16 . 2  |-  ( J  e. PCon  ->  ( J  e. 
Con 
<-> 
A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7267, 71mpbird 232 1  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3313    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   U.cuni 4079   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271   [,]cicc 11291   Topctop 18340  TopOnctopon 18341   Clsdccld 18462    Cn ccn 18670   Conccon 18857   IIcii 20293  PConcpcon 26956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-rest 14344  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cld 18465  df-cn 18673  df-con 18858  df-ii 20295  df-pcon 26958
This theorem is referenced by:  rescon  26983  iinllycon  26991  cvmlift2lem10  27049  cvmlift3  27065
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