Theorem pconcon 27072

Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pconcon	|- ( J e. PCon -> J e. Con )

Proof of Theorem pconcon

Dummy variables a b f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 967	. . . 4 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
2		n0 3641	. . . . . . . 8 |- ( x =/= (/) <-> E. a a e. x )
3		n0 3641	. . . . . . . 8 |- ( y =/= (/) <-> E. b b e. y )
4	2, 3	anbi12i 697	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
5		eeanv 1931	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
6	4, 5	bitr4i 252	. . . . . 6 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) )
7		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. PCon )
8		simprll 761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. x )
9		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
10		elunii 4091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. x /\ x e. J ) -> a e. U. J )
11	8, 9, 10	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. U. J )
12		simprlr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. y )
13		simplrr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
14		elunii 4091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. y /\ y e. J ) -> b e. U. J )
15	12, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. U. J )
16		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
17	16	pconcn 27065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. PCon /\ a e. U. J /\ b e. U. J ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
18	7, 11, 15, 17	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
19		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
20		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 1 ) = b )
21	20	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) = b )
22		iiuni 20432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23		iicon 20438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. Con
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> II e. Con )
25		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f e. ( II Cn J ) )
26	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. J )
27		uncom 3495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. x ) = ( x u. y )
28		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x u. y ) = U. J )
29	27, 28	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y u. x ) = U. J )
30	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y e. J )
31		elssuni 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y C_ U. J )
33		incom 3538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
34	33, 19	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y i^i x ) = (/) )
35		uneqdifeq 3762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y C_ U. J /\ ( y i^i x ) = (/) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
37	29, 36	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) = x )
38		pcontop 27066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. PCon -> J e. Top )
39	38	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> J e. Top )
40	16	opncld 18612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
41	39, 30, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
42	37, 41	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
43		0elunit 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
45		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 0 ) = a )
46	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) = a )
47	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> a e. x )
48	46, 47	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) e. x )
49	22, 24, 25, 26, 42, 44, 48	concn 19005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50		1elunit 11396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
51		ffvelrn 5836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
52	49, 50, 51	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
53	21, 52	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. x )
54	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. y )
55		inelcm 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. x /\ b e. y ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
56	53, 54, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
57	19, 56	pm2.21ddne 2680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
58	57	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( ( x u. y ) = U. J -> -. ( x u. y ) = U. J ) )
59	58	pm2.01d 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
60	59	neneqad 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
61	18, 60	rexlimddv 2840	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
62	61	exp32 605	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
63	62	exlimdvv 1691	. . . . . 6 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
64	6, 63	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
65	64	impd 431	. . . 4 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
66	1, 65	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
67	66	ralrimivva 2803	. 2 |- ( J e. PCon -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
68	16	toptopon 18513	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
69	38, 68	sylib 196	. . 3 |- ( J e. PCon -> J e. (TopOn ` U. J ) )
70		dfcon2 18998	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
71	69, 70	syl 16	. 2 |- ( J e. PCon -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
72	67, 71	mpbird 232	1 |- ( J e. PCon -> J e. Con )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   U.cuni 4086   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   [,]cicc 11295   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   Clsdccld 18595   Cn ccn 18803   Conccon 18990   IIcii 20426  PConcpcon 27060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cld 18598  df-cn 18806  df-con 18991  df-ii 20428  df-pcon 27062

This theorem is referenced by:  rescon  27087  iinllycon  27095  cvmlift2lem10  27153  cvmlift3  27169