Theorem pconcon 24871

Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pconcon	|- ( J e. PCon -> J e. Con )

Proof of Theorem pconcon

Dummy variables a b f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 938	. . . 4 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
2		n0 3597	. . . . . . . 8 |- ( x =/= (/) <-> E. a a e. x )
3		n0 3597	. . . . . . . 8 |- ( y =/= (/) <-> E. b b e. y )
4	2, 3	anbi12i 679	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
5		eeanv 1933	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) <-> ( E. a a e. x /\ E. b b e. y ) )
6	4, 5	bitr4i 244	. . . . . 6 |- ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) <-> E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) )
7		simpll 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> J e. PCon )
8		simprll 739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. x )
9		simplrl 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> x e. J )
10		elunii 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. x /\ x e. J ) -> a e. U. J )
11	8, 9, 10	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> a e. U. J )
12		simprlr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. y )
13		simplrr 738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> y e. J )
14		elunii 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. y /\ y e. J ) -> b e. U. J )
15	12, 13, 14	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> b e. U. J )
16		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
17	16	pconcn 24864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. PCon /\ a e. U. J /\ b e. U. J ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
18	7, 11, 15, 17	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) )
19		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
20		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 1 ) = b )
21	20	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) = b )
22		iiuni 18864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
23		iicon 18870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. Con
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> II e. Con )
25		simprll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f e. ( II Cn J ) )
26	9	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. J )
27		uncom 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y u. x ) = ( x u. y )
28		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x u. y ) = U. J )
29	27, 28	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y u. x ) = U. J )
30	13	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y e. J )
31		elssuni 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. J -> y C_ U. J )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> y C_ U. J )
33		incom 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y i^i x ) = ( x i^i y )
34	33, 19	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( y i^i x ) = (/) )
35		uneqdifeq 3676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y C_ U. J /\ ( y i^i x ) = (/) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( ( y u. x ) = U. J <-> ( U. J \ y ) = x ) )
37	29, 36	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) = x )
38		pcontop 24865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J e. PCon -> J e. Top )
39	38	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> J e. Top )
40	16	opncld 17052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ y e. J ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
41	39, 30, 40	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( U. J \ y ) e. ( Clsd ` J ) )
42	37, 41	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
43		0elunit 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
45		simplrl 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) -> ( f ` 0 ) = a )
46	45	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) = a )
47	8	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> a e. x )
48	46, 47	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 0 ) e. x )
49	22, 24, 25, 26, 42, 44, 48	concn 17442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50		1elunit 10972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
51		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
52	49, 50, 51	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( f ` 1 ) e. x )
53	21, 52	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. x )
54	12	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> b e. y )
55		inelcm 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. x /\ b e. y ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
56	53, 54, 55	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> ( x i^i y ) =/= (/) )
57	19, 56	pm2.21ddne 2641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) /\ ( x u. y ) = U. J ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
58	57	expr 599	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( ( x u. y ) = U. J -> -. ( x u. y ) = U. J ) )
59	58	pm2.01d 163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> -. ( x u. y ) = U. J )
60	59	neneqad 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) /\ ( f e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ` 0 ) = a /\ ( f ` 1 ) = b ) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
61	18, 60	rexlimddv 2794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( a e. x /\ b e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> ( x u. y ) =/= U. J )
62	61	exp32 589	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
63	62	exlimdvv 1644	. . . . . 6 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( E. a E. b ( a e. x /\ b e. y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
64	6, 63	syl5bi 209	. . . . 5 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
65	64	imp3a 421	. . . 4 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
66	1, 65	syl5bi 209	. . 3 |- ( ( J e. PCon /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
67	66	ralrimivva 2758	. 2 |- ( J e. PCon -> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) )
68	16	toptopon 16953	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
69	38, 68	sylib 189	. . 3 |- ( J e. PCon -> J e. (TopOn ` U. J ) )
70		dfcon2 17435	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
71	69, 70	syl 16	. 2 |- ( J e. PCon -> ( J e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( x =/= (/) /\ y =/= (/) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x u. y ) =/= U. J ) ) )
72	67, 71	mpbird 224	1 |- ( J e. PCon -> J e. Con )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   \ cdif 3277   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   [,]cicc 10875   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035   Cn ccn 17242   Conccon 17427   IIcii 18858  PConcpcon 24859

This theorem is referenced by:  rescon  24886  iinllycon  24894  cvmlift2lem10  24952  cvmlift3  24968

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cn 17245  df-con 17428  df-ii 18860  df-pcon 24861