MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppcco 16200
Description: Composition in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcco.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcco.c · = (comp‘𝐶)
oppcco.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcco.x (𝜑𝑋𝐵)
oppcco.y (𝜑𝑌𝐵)
oppcco.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
oppcco (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌· 𝑋)𝐺))

Proof of Theorem oppcco
StepHypRef Expression
1 oppcco.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 oppcco.c . . . 4 · = (comp‘𝐶)
3 oppcco.o . . . 4 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
4 oppcco.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 oppcco.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
6 oppcco.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6oppccofval 16199 . . 3 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍) = tpos (⟨𝑍, 𝑌· 𝑋))
87oveqd 6566 . 2 (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐺tpos (⟨𝑍, 𝑌· 𝑋)𝐹))
9 ovtpos 7254 . 2 (𝐺tpos (⟨𝑍, 𝑌· 𝑋)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌· 𝑋)𝐺)
108, 9syl6eq 2660 1 (𝜑 → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑂)𝑍)𝐹) = (𝐹(⟨𝑍, 𝑌· 𝑋)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cop 4131  cfv 5804  (class class class)co 6549  tpos ctpos 7238  Basecbs 15695  compcco 15780  oppCatcoppc 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-cco 15794  df-oppc 16195
This theorem is referenced by:  oppccatid  16202  2oppccomf  16208  oppccomfpropd  16210  isepi  16223  epii  16226  oppcsect  16261  funcoppc  16358  hofcl  16722  yon12  16728  yon2  16729  yonedalem4c  16740
  Copyright terms: Public domain W3C validator