MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcco Structured version   Unicode version

Theorem oppcco 15564
Description: Composition in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcco.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
oppcco.c  |-  .x.  =  (comp `  C )
oppcco.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
oppcco.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
oppcco.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
oppcco.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
oppcco  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >. (comp `  O ) Z ) F )  =  ( F ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) G ) )

Proof of Theorem oppcco
StepHypRef Expression
1 oppcco.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 oppcco.c . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
3 oppcco.o . . . 4  |-  O  =  (oppCat `  C )
4 oppcco.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 oppcco.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 oppcco.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6oppccofval 15563 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. X ,  Y >. (comp `  O ) Z )  = tpos  ( <. Z ,  Y >.  .x. 
X ) )
87oveqd 6322 . 2  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >. (comp `  O ) Z ) F )  =  ( Gtpos  ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) F ) )
9 ovtpos 6996 . 2  |-  ( Gtpos  ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) F )  =  ( F ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) G )
108, 9syl6eq 2486 1  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >. (comp `  O ) Z ) F )  =  ( F ( <. Z ,  Y >.  .x.  X ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   <.cop 4008   ` cfv 5601  (class class class)co 6305  tpos ctpos 6980   Basecbs 15075  compcco 15155  oppCatcoppc 15558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-dec 11052  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-sets 15081  df-cco 15168  df-oppc 15559
This theorem is referenced by:  oppccatid  15566  2oppccomf  15572  oppccomfpropd  15574  isepi  15587  epii  15590  oppcsect  15625  funcoppc  15722  hofcl  16086  yon12  16092  yon2  16093  yonedalem4c  16104
  Copyright terms: Public domain W3C validator