Theorem omndadd2rd 29040

Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndadd.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndadd.1	⊢ ≤ = (le‘𝑀)
omndadd.2	⊢ + = (+g‘𝑀)
omndadd2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
omndadd2d.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
omndadd2d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
omndadd2d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
omndadd2d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
omndadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
omndadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
omndadd2rd.c	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)

Assertion

Ref	Expression
omndadd2rd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Proof of Theorem omndadd2rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omndadd2d.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ oMnd)
2		omndtos 29036	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
3		tospos 28989	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Poset)
5		omndmnd 29035	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		omndadd2d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		omndadd2d.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		omndadd.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		omndadd.2	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	9, 10	mndcl 17124	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
13		omndadd2d.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	9, 10	mndcl 17124	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
15	6, 7, 13, 14	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵)
16		omndadd2d.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	9, 10	mndcl 17124	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
18	6, 16, 13, 17	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)
19	12, 15, 18	3jca 1235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵))
20		omndadd2rd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑀) ∈ oMnd)
21		omndadd2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑊)
22		omndadd.1	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑀)
23	9, 22, 10	omndaddr 29038	. . 3 ⊢ (((oppg‘𝑀) ∈ oMnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
24	20, 8, 13, 7, 21, 23	syl131anc 1331	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊))
25		omndadd2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)
26	9, 22, 10	omndadd 29037	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
27	1, 7, 16, 13, 25, 26	syl131anc 1331	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))
28	9, 22	postr 16776	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊)) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊)))
29	28	imp 444	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Poset ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑊) ∈ 𝐵)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑋 + 𝑊) ∧ (𝑋 + 𝑊) ≤ (𝑍 + 𝑊))) → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))
30	4, 19, 24, 27, 29	syl22anc 1319	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≤ (𝑍 + 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  lecple 15775  Posetcpo 16763  Tosetctos 16856  Mndcmnd 17117  opp_gcoppg 17598  oMndcomnd 29028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-ple 15788  df-poset 16769  df-toset 16857  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-oppg 17599  df-omnd 29030

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  29080