Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omndadd2rd Structured version   Unicode version

Theorem omndadd2rd 27523
Description: In a left- and right- ordered monoid, the ordering is compatible with monoid addition. Double addition version (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndadd.0  |-  B  =  ( Base `  M
)
omndadd.1  |-  .<_  =  ( le `  M )
omndadd.2  |-  .+  =  ( +g  `  M )
omndadd2d.m  |-  ( ph  ->  M  e. oMnd )
omndadd2d.w  |-  ( ph  ->  W  e.  B )
omndadd2d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
omndadd2d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
omndadd2d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
omndadd2d.1  |-  ( ph  ->  X  .<_  Z )
omndadd2d.2  |-  ( ph  ->  Y  .<_  W )
omndadd2rd.c  |-  ( ph  ->  (oppg
`  M )  e. oMnd
)
Assertion
Ref Expression
omndadd2rd  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  .<_  ( Z  .+  W ) )

Proof of Theorem omndadd2rd
StepHypRef Expression
1 omndadd2d.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e. oMnd )
2 omndtos 27519 . . 3  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e. Toset )
3 tospos 27470 . . 3  |-  ( M  e. Toset  ->  M  e.  Poset )
41, 2, 33syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  Poset )
5 omndmnd 27518 . . . . 5  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e.  Mnd )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
7 omndadd2d.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 omndadd2d.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
9 omndadd.0 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
10 omndadd.2 . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  M )
119, 10mndcl 15802 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
126, 7, 8, 11syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
13 omndadd2d.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  B )
149, 10mndcl 15802 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  .+  W
)  e.  B )
156, 7, 13, 14syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .+  W
)  e.  B )
16 omndadd2d.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
179, 10mndcl 15802 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Z  .+  W
)  e.  B )
186, 16, 13, 17syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  .+  W
)  e.  B )
1912, 15, 183jca 1176 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( X  .+  W
)  e.  B  /\  ( Z  .+  W )  e.  B ) )
20 omndadd2rd.c . . 3  |-  ( ph  ->  (oppg
`  M )  e. oMnd
)
21 omndadd2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  .<_  W )
22 omndadd.1 . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  M )
239, 22, 10omndaddr 27521 . . 3  |-  ( ( (oppg
`  M )  e. oMnd  /\  ( Y  e.  B  /\  W  e.  B  /\  X  e.  B
)  /\  Y  .<_  W )  ->  ( X  .+  Y )  .<_  ( X 
.+  W ) )
2420, 8, 13, 7, 21, 23syl131anc 1241 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  .<_  ( X  .+  W ) )
25 omndadd2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  .<_  Z )
269, 22, 10omndadd 27520 . . 3  |-  ( ( M  e. oMnd  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  X  .<_  Z )  ->  ( X  .+  W )  .<_  ( Z 
.+  W ) )
271, 7, 16, 13, 25, 26syl131anc 1241 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  W
)  .<_  ( Z  .+  W ) )
289, 22postr 15457 . . 3  |-  ( ( M  e.  Poset  /\  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( X  .+  W )  e.  B  /\  ( Z  .+  W )  e.  B ) )  -> 
( ( ( X 
.+  Y )  .<_  ( X  .+  W )  /\  ( X  .+  W )  .<_  ( Z 
.+  W ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<_  ( Z 
.+  W ) ) )
2928imp 429 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Poset  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( X  .+  W
)  e.  B  /\  ( Z  .+  W )  e.  B ) )  /\  ( ( X 
.+  Y )  .<_  ( X  .+  W )  /\  ( X  .+  W )  .<_  ( Z 
.+  W ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  .<_  ( Z 
.+  W ) )
304, 19, 24, 27, 29syl22anc 1229 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  .<_  ( Z  .+  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   lecple 14579   Posetcpo 15444  Tosetctos 15537   Mndcmnd 15793  oppgcoppg 16252  oMndcomnd 27511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-ple 14592  df-poset 15450  df-toset 15538  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-oppg 16253  df-omnd 27513
This theorem is referenced by:  archiabllem2c  27563
  Copyright terms: Public domain W3C validator