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Theorem odd2np1lem 14902
 Description: Lemma for odd2np1 14903. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1lem (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1lem
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2621 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
21rexbidv 3034 . . 3 (𝑗 = 0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0))
3 eqeq2 2621 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 0))
43rexbidv 3034 . . 3 (𝑗 = 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0))
52, 4orbi12d 742 . 2 (𝑗 = 0 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)))
6 eqeq2 2621 . . . . 5 (𝑗 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
76rexbidv 3034 . . . 4 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚))
8 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑥))
98oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑥 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑥) + 1))
109eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑛 = 𝑥 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
1110cbvrexv 3148 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚)
127, 11syl6bb 275 . . 3 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
13 eqeq2 2621 . . . . 5 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑚))
1413rexbidv 3034 . . . 4 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚))
15 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 · 2) = (𝑦 · 2))
1615eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ (𝑦 · 2) = 𝑚))
1716cbvrexv 3148 . . . 4 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑚 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)
1814, 17syl6bb 275 . . 3 (𝑗 = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚))
1912, 18orbi12d 742 . 2 (𝑗 = 𝑚 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚)))
20 eqeq2 2621 . . . 4 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
2120rexbidv 3034 . . 3 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
22 eqeq2 2621 . . . 4 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
2322rexbidv 3034 . . 3 (𝑗 = (𝑚 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
2421, 23orbi12d 742 . 2 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
25 eqeq2 2621 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2625rexbidv 3034 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
27 eqeq2 2621 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ (𝑘 · 2) = 𝑁))
2827rexbidv 3034 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
2926, 28orbi12d 742 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑗 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑗) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
30 0z 11265 . . . 4 0 ∈ ℤ
31 2cn 10968 . . . . 5 2 ∈ ℂ
3231mul02i 10104 . . . 4 (0 · 2) = 0
33 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 2) = (0 · 2))
3433eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 2) = 0 ↔ (0 · 2) = 0))
3534rspcev 3282 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ (0 · 2) = 0) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
3630, 32, 35mp2an 704 . . 3 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0
3736olci 405 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 0 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 0)
38 orcom 401 . . 3 ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) ↔ (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚))
39 zcn 11259 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
40 mulcom 9901 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4139, 31, 40sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4241adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
4342eqeq1d 2612 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 ↔ (2 · 𝑦) = 𝑚))
44 eqid 2610 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)
45 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑦))
4645oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
4746eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)))
4847rspcev 3282 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
4944, 48mpan2 703 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
50 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ((2 · 𝑦) + 1) = (𝑚 + 1))
5150eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5251rexbidv 3034 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑦) = 𝑚 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5349, 52syl5ibcom 234 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5453adantl 481 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5543, 54sylbid 229 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
5655rexlimdva 3013 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1)))
57 peano2z 11295 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
5857adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
59 zcn 11259 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
60 mulcom 9901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
6131, 60mpan2 703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 2) = (2 · 𝑥))
6231mulid2i 9922 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 2) = 2
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 2) = 2)
6461, 63oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + 2))
65 df-2 10956 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
6665oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1))
6764, 66syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 2) + (1 · 2)) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
68 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
69 adddir 9910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
7068, 31, 69mp3an23 1408 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = ((𝑥 · 2) + (1 · 2)))
71 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
7231, 71mpan 702 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
73 addass 9902 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7468, 68, 73mp3an23 1408 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
7667, 70, 753eqtr4d 2654 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
7759, 76syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
7877adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
79 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 + 1) → (𝑘 · 2) = ((𝑥 + 1) · 2))
8079eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥 + 1) → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
8180rspcev 3282 . . . . . . 7 (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑥 + 1) · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
8258, 78, 81syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1))
83 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = (𝑚 + 1))
8483eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ((𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8584rexbidv 3034 . . . . . 6 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (((2 · 𝑥) + 1) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8682, 85syl5ibcom 234 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8786rexlimdva 3013 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1)))
8856, 87orim12d 879 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚 ∨ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
8938, 88syl5bi 231 . 2 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑚 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = 𝑚) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑚 + 1) ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑚 + 1))))
905, 19, 24, 29, 37, 89nn0ind 11348 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255 This theorem is referenced by:  odd2np1  14903
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