Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsi 22759
 Description: The properties of a normed complex vector space, which is a vector space accompanied by a norm. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (Revised by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isncvsngp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
isncvsngp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
isncvsngp.s · = ( ·𝑠𝑊)
isncvsngp.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
isncvsngp.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
ncvsi.m = (-g𝑊)
ncvsi.0 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ncvsi (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝑘,𝑉,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊,𝑥
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝐹(𝑦)   𝐾(𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝑁(𝑦)   0 (𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem ncvsi
StepHypRef Expression
1 isncvsngp.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 isncvsngp.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
3 isncvsngp.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
4 isncvsngp.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 isncvsngp.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
61, 2, 3, 4, 5isncvsngp 22757 . 2 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
7 simp1 1054 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → 𝑊 ∈ ℂVec)
81, 2nmf 22229 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑉⟶ℝ)
983ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → 𝑁:𝑉⟶ℝ)
10 ncvsi.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
11 ncvsi.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
121, 2, 10, 11ngpi 22242 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))))
13 r19.26 3046 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉 ((((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) ↔ (∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
14 simpll 786 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
15 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
16 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))
1714, 15, 163jca 1235 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
1817ralimi 2936 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉 ((((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
1913, 18sylbir 224 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
2019ex 449 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) → (∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
21203ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))) → (∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
2212, 21syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmGrp → (∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)) → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
2322imp 444 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
24233adant1 1072 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))))
257, 9, 243jca 1235 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑊 ∈ NrmGrp ∧ ∀𝑥𝑉𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥))) → (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
266, 25sylbi 206 1 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → (𝑊 ∈ ℂVec ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)) ∧ ∀𝑘𝐾 (𝑁‘(𝑘 · 𝑥)) = ((abs‘𝑘) · (𝑁𝑥)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954  abscabs 13822  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192  NrmVeccnvc 22196  ℂVecccvs 22731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-nvc 22202  df-clm 22671  df-cvs 22732 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator