Theorem motplusg 25237

Description: The operation for motions is their composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motplusg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motplusg	⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝑃(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motplusg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motplusg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
2		motplusg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
3		coexg 7010	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
5		coeq1 5201	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝑏))
6		coeq2 5202	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝐻))
7		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
8	7, 7	mpt2ex 7136	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
9		motgrp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
10	9	grpplusg 15817	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼)
12		coeq1 5201	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑎 → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑔))
13		coeq2 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑏 → (𝑎 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑏))
14	12, 13	cbvmpt2v 6633	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
15	11, 14	eqtr3i 2634	. . 3 ⊢ (+g‘𝐼) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
16	5, 6, 15	ovmpt2g 6693	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V) → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {cpr 4127  ⟨cop 4131   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  distcds 15777  Ismtcismt 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781

This theorem is referenced by:  motgrp  25238