MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motplusg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem motplusg 24666
Description: The operation for motions is their composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
ismot.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
motgrp.1  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
motgrp.i  |-  I  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  ( GIsmt G ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  ( GIsmt G ) ,  g  e.  ( GIsmt G )  |->  ( f  o.  g ) ) >. }
motplusg.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( GIsmt G ) )
motplusg.2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( GIsmt G ) )
Assertion
Ref Expression
motplusg  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  I ) H )  =  ( F  o.  H ) )
Distinct variable group:    f, G, g
Allowed substitution hints:    ph( f, g)    P( f, g)    F( f, g)    H( f, g)    I(
f, g)    .- ( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem motplusg
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motplusg.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( GIsmt G ) )
2 motplusg.2 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( GIsmt G ) )
3 coexg 6763 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( GIsmt G )  /\  H  e.  ( GIsmt G ) )  ->  ( F  o.  H )  e.  _V )
41, 2, 3syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
)  e.  _V )
5 coeq1 4997 . . 3  |-  ( a  =  F  ->  (
a  o.  b )  =  ( F  o.  b ) )
6 coeq2 4998 . . 3  |-  ( b  =  H  ->  ( F  o.  b )  =  ( F  o.  H ) )
7 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( GIsmt G )  e.  _V
87, 7mpt2ex 6889 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( GIsmt G
) ,  g  e.  ( GIsmt G ) 
|->  ( f  o.  g
) )  e.  _V
9 motgrp.i . . . . . 6  |-  I  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  ( GIsmt G ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  ( GIsmt G ) ,  g  e.  ( GIsmt G )  |->  ( f  o.  g ) ) >. }
109grpplusg 15316 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( GIsmt G ) ,  g  e.  ( GIsmt G
)  |->  ( f  o.  g ) )  e. 
_V  ->  ( f  e.  ( GIsmt G ) ,  g  e.  ( GIsmt G )  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  I ) )
118, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( f  e.  ( GIsmt G
) ,  g  e.  ( GIsmt G ) 
|->  ( f  o.  g
) )  =  ( +g  `  I )
12 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( f  =  a  ->  (
f  o.  g )  =  ( a  o.  g ) )
13 coeq2 4998 . . . . 5  |-  ( g  =  b  ->  (
a  o.  g )  =  ( a  o.  b ) )
1412, 13cbvmpt2v 6390 . . . 4  |-  ( f  e.  ( GIsmt G
) ,  g  e.  ( GIsmt G ) 
|->  ( f  o.  g
) )  =  ( a  e.  ( GIsmt G ) ,  b  e.  ( GIsmt G
)  |->  ( a  o.  b ) )
1511, 14eqtr3i 2495 . . 3  |-  ( +g  `  I )  =  ( a  e.  ( GIsmt G ) ,  b  e.  ( GIsmt G
)  |->  ( a  o.  b ) )
165, 6, 15ovmpt2g 6450 . 2  |-  ( ( F  e.  ( GIsmt G )  /\  H  e.  ( GIsmt G )  /\  ( F  o.  H )  e.  _V )  ->  ( F ( +g  `  I ) H )  =  ( F  o.  H ) )
171, 2, 4, 16syl3anc 1292 1  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  I ) H )  =  ( F  o.  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   {cpr 3961   <.cop 3965    o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   ndxcnx 15196   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   distcds 15277  Ismtcismt 24656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281
This theorem is referenced by:  motgrp  24667
  Copyright terms: Public domain W3C validator