Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mideulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mideulem 25428
 Description: Lemma for mideu 25430. We can assume mideulem.9 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideulem.1 (𝜑𝐴𝐵)
mideulem.2 (𝜑𝑄𝑃)
mideulem.3 (𝜑𝑂𝑃)
mideulem.4 (𝜑𝑇𝑃)
mideulem.5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
mideulem.6 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
mideulem.7 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
mideulem.8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
mideulem.9 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
Assertion
Ref Expression
mideulem (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem mideulem
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 800 . . 3 ((((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) ∧ (𝑥𝑃 ∧ (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
2 colperpex.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 colperpex.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
4 colperpex.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 colperpex.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 colperpex.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mideu.s . . . 4 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9 mideu.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
109ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝑃)
11 mideu.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1211ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐵𝑃)
13 mideulem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
1413ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝐴𝐵)
15 mideulem.2 . . . . 5 (𝜑𝑄𝑃)
1615ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑄𝑃)
17 mideulem.3 . . . . 5 (𝜑𝑂𝑃)
1817ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑂𝑃)
19 mideulem.4 . . . . 5 (𝜑𝑇𝑃)
2019ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇𝑃)
21 mideulem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
2221ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑄𝐿𝐵))
23 mideulem.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
2423ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑂))
25 mideulem.7 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2625ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
27 mideulem.8 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
2827ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑇 ∈ (𝑄𝐼𝑂))
29 simplr 788 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟𝑃)
30 simprl 790 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → 𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄))
31 simprr 792 . . . 4 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))
322, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31opphllem 25427 . . 3 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ∧ 𝑂 = ((𝑆𝑥)‘𝑟)))
331, 32reximddv 3001 . 2 (((𝜑𝑟𝑃) ∧ (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
34 mideulem.9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄))
35 eqid 2610 . . . 4 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
362, 3, 4, 35, 6, 9, 17, 11, 15legov 25280 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝑂)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑄) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟))))
3734, 36mpbid 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ (𝐵𝐼𝑄) ∧ (𝐴 𝑂) = (𝐵 𝑟)))
3833, 37r19.29a 3060 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  ≤Gcleg 25277  pInvGcmir 25347  ⟂Gcperpg 25390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391 This theorem is referenced by:  midex  25429
 Copyright terms: Public domain W3C validator