Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem 23298
 Description: Lemma for mbfmul 23299. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfmullem (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfmul.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
31, 2mbfi1flim 23296 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
4 mbfmul.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
5 mbfmul.4 . . 3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
64, 5mbfi1flim 23296 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))
7 eeanv 2170 . . 3 (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))))
81adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
94adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
102adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
115adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12 simprll 798 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13 simprlr 799 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
14 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓𝑛)‘𝑦) = ((𝑓𝑛)‘𝑥))
1514mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)))
16 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑚))
1716fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓𝑛)‘𝑥) = ((𝑓𝑚)‘𝑥))
1817cbvmptv 4678 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥))
1915, 18syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)))
20 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
2119, 20breq12d 4596 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
2221rspccva 3281 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
2313, 22sylan 487 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
24 simprrl 800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25 simprrr 801 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
26 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔𝑛)‘𝑦) = ((𝑔𝑛)‘𝑥))
2726mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)))
28 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑔𝑛) = (𝑔𝑚))
2928fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔𝑛)‘𝑥) = ((𝑔𝑚)‘𝑥))
3029cbvmptv 4678 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥))
3127, 30syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)))
32 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑥))
3331, 32breq12d 4596 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))
3433rspccva 3281 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
3525, 34sylan 487 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 23297 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
3736ex 449 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
3837exlimdvv 1849 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
397, 38syl5bir 232 . 2 (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
403, 6, 39mp2and 711 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℝcr 9814   · cmul 9820  ℕcn 10897   ⇝ cli 14063  MblFncmbf 23189  ∫1citg1 23190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  mbfmul  23299
 Copyright terms: Public domain W3C validator