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Theorem mbfmullem 21208
Description: Lemma for mbfmul 21209. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmul.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmul.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmul.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmullem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables  f 
g  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbfmul.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
31, 2mbfi1flim 21206 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
4 mbfmul.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
5 mbfmul.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
64, 5mbfi1flim 21206 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
7 eeanv 1932 . . 3  |-  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  <-> 
( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) ) )
81adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
94adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  G  e. MblFn )
102adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  F : A
--> RR )
115adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  G : A
--> RR )
12 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  f : NN
--> dom  S.1 )
13 simprlr 762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )
14 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  n
) `  y )  =  ( ( f `
 n ) `  x ) )
1514mpteq2dv 4384 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  y )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) ) )
16 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
1716fveq1d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( f `  n
) `  x )  =  ( ( f `
 m ) `  x ) )
1817cbvmptv 4388 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `
 m ) `  x ) )
1915, 18syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  y )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `  m ) `
 x ) ) )
20 fveq2 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
2119, 20breq12d 4310 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y )  <->  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `
 m ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
2221rspccva 3077 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y )  /\  x  e.  A )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `  m ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
2313, 22sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( f `  m
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )
24 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  g : NN
--> dom  S.1 )
25 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) )
26 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( g `  n
) `  y )  =  ( ( g `
 n ) `  x ) )
2726mpteq2dv 4384 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `
 x ) ) )
28 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
2928fveq1d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( g `
 m ) `  x ) )
3029cbvmptv 4388 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m ) `  x ) )
3127, 30syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) `
 x ) ) )
32 fveq2 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) )
3331, 32breq12d 4310 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y )  <->  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )
3433rspccva 3077 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y )  /\  x  e.  A )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
3525, 34sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) )
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 21207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G
)  e. MblFn )
3736ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn ) )
3837exlimdvv 1691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn ) )
397, 38syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G
)  e. MblFn ) )
403, 6, 39mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2720   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323   RRcr 9286    x. cmul 9292   NNcn 10327    ~~> cli 12967  MblFncmbf 21099   S.1citg1 21100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cmp 18995  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-0p 21153
This theorem is referenced by:  mbfmul  21209
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