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Theorem mbfmullem 22000
Description: Lemma for mbfmul 22001. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmul.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmul.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmul.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmullem  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables  f 
g  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbfmul.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
31, 2mbfi1flim 21998 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
4 mbfmul.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
5 mbfmul.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
64, 5mbfi1flim 21998 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
7 eeanv 1957 . . 3  |-  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  <-> 
( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) ) )
81adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
94adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  G  e. MblFn )
102adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  F : A
--> RR )
115adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  G : A
--> RR )
12 simprll 761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  f : NN
--> dom  S.1 )
13 simprlr 762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )
14 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  n
) `  y )  =  ( ( f `
 n ) `  x ) )
1514mpteq2dv 4540 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  y )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) ) )
16 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
1716fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( f `  n
) `  x )  =  ( ( f `
 m ) `  x ) )
1817cbvmptv 4544 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `
 m ) `  x ) )
1915, 18syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  y )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `  m ) `
 x ) ) )
20 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
2119, 20breq12d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y )  <->  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `
 m ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
2221rspccva 3218 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y )  /\  x  e.  A )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `  m ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
2313, 22sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( f `  m
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )
24 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  g : NN
--> dom  S.1 )
25 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) )
26 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( g `  n
) `  y )  =  ( ( g `
 n ) `  x ) )
2726mpteq2dv 4540 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `
 x ) ) )
28 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
2928fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( g `
 m ) `  x ) )
3029cbvmptv 4544 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m ) `  x ) )
3127, 30syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) `
 x ) ) )
32 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) )
3331, 32breq12d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y )  <->  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )
3433rspccva 3218 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y )  /\  x  e.  A )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
3525, 34sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) )
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 21999 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G
)  e. MblFn )
3736ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn ) )
3837exlimdvv 1701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn ) )
397, 38syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )  ->  ( F  oF  x.  G
)  e. MblFn ) )
403, 6, 39mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( F  oF  x.  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   RRcr 9503    x. cmul 9509   NNcn 10548    ~~> cli 13287  MblFncmbf 21891   S.1citg1 21892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cmp 19755  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-0p 21945
This theorem is referenced by:  mbfmul  22001
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