Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimcrng 20095
 Description: The algebra of matrices with dimension 0 (over an arbitrary ring!) is a commutative ring. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimcrng (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat0dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0fin 8073 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 mat0dim.a . . . 4 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
32matring 20068 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
41, 3mpan 702 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5 mat0dimbas0 20091 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
62eqcomi 2619 . . . . . 6 (∅ Mat 𝑅) = 𝐴
76fveq2i 6106 . . . . 5 (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
87eqeq1i 2615 . . . 4 ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} ↔ (Base‘𝐴) = {∅})
9 eqidd 2611 . . . . . . 7 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
10 0ex 4718 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
11 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (∅(.r𝐴)𝑦))
12 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑦(.r𝐴)∅))
1311, 12eqeq12d 2625 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅)))
1413ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅)))
1510, 14ralsn 4169 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅))
16 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (∅(.r𝐴)𝑦) = (∅(.r𝐴)∅))
17 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑦(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
1816, 17eqeq12d 2625 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ((∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅)))
1910, 18ralsn 4169 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
2015, 19bitri 263 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
219, 20sylibr 223 . . . . . 6 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
22 raleq 3115 . . . . . . . 8 ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2322raleqbi1dv 3123 . . . . . . 7 ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2423adantr 480 . . . . . 6 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2521, 24mpbird 246 . . . . 5 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
2625ex 449 . . . 4 ((Base‘𝐴) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
278, 26sylbi 206 . . 3 ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
285, 27mpcom 37 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
29 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30 eqid 2610 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3129, 30iscrng2 18386 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
324, 28, 31sylanbrc 695 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∅c0 3874  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   Mat cmat 20032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator