Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mat0dimcrng Structured version   Unicode version

Theorem mat0dimcrng 31022
Description: The algebra of matrices with dimension 0 (over an arbitrary ring!) is a commutative ring. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a  |-  A  =  ( (/) Mat  R )
Assertion
Ref Expression
mat0dimcrng  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  e. 
CRing )

Proof of Theorem mat0dimcrng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0fin 7643 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 mat0dim.a . . . 4  |-  A  =  ( (/) Mat  R )
32matrng 18442 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
41, 3mpan 670 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  e. 
Ring )
5 mat0dimbas0 18436 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)  =  { (/) } )
62eqcomi 2464 . . . . . 6  |-  ( (/) Mat  R )  =  A
76fveq2i 5794 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)  =  ( Base `  A )
87eqeq1i 2458 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( (/) Mat  R ) )  =  { (/) }  <-> 
( Base `  A )  =  { (/) } )
9 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  A
)  =  { (/) }  /\  R  e.  Ring )  ->  ( (/) ( .r
`  A ) (/) )  =  ( (/) ( .r
`  A ) (/) ) )
10 0ex 4522 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
11 oveq1 6199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x ( .r `  A
) y )  =  ( (/) ( .r `  A ) y ) )
12 oveq2 6200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( y ( .r `  A
) x )  =  ( y ( .r
`  A ) (/) ) )
1311, 12eqeq12d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x )  <->  ( (/) ( .r
`  A ) y )  =  ( y ( .r `  A
) (/) ) ) )
1413ralbidv 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  e.  { (/) }  (
x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x )  <->  A. y  e.  { (/) }  ( (/) ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) (/) ) ) )
1514ralsng 4012 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { (/) } A. y  e.  { (/) }  (
x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x )  <->  A. y  e.  { (/) }  ( (/) ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) (/) ) ) )
1610, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  { (/) } A. y  e.  { (/) }  (
x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x )  <->  A. y  e.  { (/) }  ( (/) ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) (/) ) )
17 oveq2 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (/) ( .r `  A ) y )  =  (
(/) ( .r `  A ) (/) ) )
18 oveq1 6199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y ( .r `  A
) (/) )  =  (
(/) ( .r `  A ) (/) ) )
1917, 18eqeq12d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( (
(/) ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A )
(/) )  <->  ( (/) ( .r
`  A ) (/) )  =  ( (/) ( .r
`  A ) (/) ) ) )
2019ralsng 4012 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { (/) }  ( (/) ( .r `  A
) y )  =  ( y ( .r
`  A ) (/) ) 
<->  ( (/) ( .r `  A ) (/) )  =  ( (/) ( .r `  A ) (/) ) ) )
2110, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  { (/) }  ( (/) ( .r `  A
) y )  =  ( y ( .r
`  A ) (/) ) 
<->  ( (/) ( .r `  A ) (/) )  =  ( (/) ( .r `  A ) (/) ) )
2216, 21bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { (/) } A. y  e.  { (/) }  (
x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x )  <->  ( (/) ( .r
`  A ) (/) )  =  ( (/) ( .r
`  A ) (/) ) )
239, 22sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  A
)  =  { (/) }  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  { (/)
} A. y  e. 
{ (/) }  ( x ( .r `  A
) y )  =  ( y ( .r
`  A ) x ) )
24 raleq 3015 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  A )  =  { (/) }  ->  ( A. x  e.  ( Base `  A ) A. y  e.  ( Base `  A ) ( x ( .r `  A
) y )  =  ( y ( .r
`  A ) x )  <->  A. x  e.  { (/)
} A. y  e.  ( Base `  A
) ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x ) ) )
25 raleq 3015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  A )  =  { (/) }  ->  ( A. y  e.  ( Base `  A ) ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x )  <->  A. y  e.  { (/) }  ( x ( .r `  A
) y )  =  ( y ( .r
`  A ) x ) ) )
2625ralbidv 2838 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  A )  =  { (/) }  ->  ( A. x  e.  { (/) } A. y  e.  (
Base `  A )
( x ( .r
`  A ) y )  =  ( y ( .r `  A
) x )  <->  A. x  e.  { (/) } A. y  e.  { (/) }  ( x ( .r `  A
) y )  =  ( y ( .r
`  A ) x ) ) )
2724, 26bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  A )  =  { (/) }  ->  ( A. x  e.  ( Base `  A ) A. y  e.  ( Base `  A ) ( x ( .r `  A
) y )  =  ( y ( .r
`  A ) x )  <->  A. x  e.  { (/)
} A. y  e. 
{ (/) }  ( x ( .r `  A
) y )  =  ( y ( .r
`  A ) x ) ) )
2827adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  A
)  =  { (/) }  /\  R  e.  Ring )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  A
) A. y  e.  ( Base `  A
) ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x )  <->  A. x  e.  { (/) } A. y  e.  { (/)
}  ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x ) ) )
2923, 28mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  A
)  =  { (/) }  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  (
Base `  A ) A. y  e.  ( Base `  A ) ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x ) )
3029ex 434 . . . 4  |-  ( (
Base `  A )  =  { (/) }  ->  ( R  e.  Ring  ->  A. x  e.  ( Base `  A
) A. y  e.  ( Base `  A
) ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x ) ) )
318, 30sylbi 195 . . 3  |-  ( (
Base `  ( (/) Mat  R ) )  =  { (/) }  ->  ( R  e. 
Ring  ->  A. x  e.  (
Base `  A ) A. y  e.  ( Base `  A ) ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x ) ) )
325, 31mpcom 36 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  A. x  e.  ( Base `  A
) A. y  e.  ( Base `  A
) ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x ) )
33 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
34 eqid 2451 . . 3  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
3533, 34iscrng2 16768 . 2  |-  ( A  e.  CRing 
<->  ( A  e.  Ring  /\ 
A. x  e.  (
Base `  A ) A. y  e.  ( Base `  A ) ( x ( .r `  A ) y )  =  ( y ( .r `  A ) x ) ) )
364, 32, 35sylanbrc 664 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  e. 
CRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070   (/)c0 3737   {csn 3977   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Fincfn 7412   Basecbs 14278   .rcmulr 14343   Ringcrg 16753   CRingccrg 16754   Mat cmat 18391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-prds 14490  df-pws 14492  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-subrg 16971  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-dsmm 18268  df-frlm 18283  df-mamu 18392  df-mat 18393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator