Theorem lttri5d 38454

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lttri5d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lttri5d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lttri5d.aneb	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
lttri5d.nlt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lttri5d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Proof of Theorem lttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri5d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 9968	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		lttri5d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 9968	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		lttri5d.aneb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
6		lttri5d.nlt	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
7	2, 4, 5, 6	xrlttri5d 38436	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  reclt0  38555  limcleqr  38711  ioodvbdlimc1lem1  38821  fourierdlem34  39034  fourierdlem35  39035  fourierdlem43  39043  fourierdlem44  39044  fourierdlem74  39073  fourierdlem109  39108  fouriersw  39124  pimrecltpos  39596  smfrec  39674