Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclt0 38555
 Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reclt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reclt0.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
reclt0 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))

Proof of Theorem reclt0
StepHypRef Expression
1 reclt0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
42, 3reclt0d 38548 . . 3 ((𝜑𝐴 < 0) → (1 / 𝐴) < 0)
54ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 0 → (1 / 𝐴) < 0))
6 0red 9920 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
71adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 reclt0.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≠ 0)
98necomd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≠ 𝐴)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
11 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 < 0)
126, 7, 10, 11lttri5d 38454 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐴)
13 0red 9920 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
141, 8rereccld 10731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
161adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1816, 17recgt0d 10837 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
1913, 15, 18ltled 10064 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
2013, 15lenltd 10062 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
2119, 20mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
2212, 21syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
2322ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐴 < 0 → ¬ (1 / 𝐴) < 0))
2423con4d 113 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
2524imp 444 . . 3 ((𝜑 ∧ (1 / 𝐴) < 0) → 𝐴 < 0)
2625ex 449 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 0 → 𝐴 < 0))
275, 26impbid 201 1 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ (1 / 𝐴) < 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564 This theorem is referenced by:  pimrecltneg  39610  smfrec  39674
 Copyright terms: Public domain W3C validator