fourierdlem35 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem35 39035

Description: There is a single point in (𝐴(,]𝐵) that's distant from 𝑋 a multiple integer of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem35.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem35.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem35.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem35.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem35.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem35.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem35.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem35.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
fourierdlem35.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem35	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

**Proof of Theorem fourierdlem35**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2790	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
2		fourierdlem35.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem35.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		fourierdlem35.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵)
8		fourierdlem35.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
9		fourierdlem35.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ)
11		fourierdlem35.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ)
13		fourierdlem35.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
15		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
16		iocssicc 12132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
17		fourierdlem35.iel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
18	16, 17	sseldi 3566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20		fourierdlem35.jel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
21	16, 20	sseldi 3566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
23	3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22	fourierdlem6 39006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1))
24	23	orcd 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
25	24	adantlr 747	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
26		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑)
27	13	zred 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ)
29	11	zred 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
30	26, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ)
31		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
32	31	necomd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐽 ≠ 𝐼)
33	32	ad2antlr 759	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ≠ 𝐼)
34		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽)
35	28, 30, 33, 34	lttri5d 38454	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼)
36	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵)
39	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
40	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
42		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
43	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
44	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
45	36, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44	fourierdlem6 39006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1))
46	45	olcd 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
47	26, 35, 46	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
48	25, 47	pm2.61dan 828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
49	1, 48	sylan2 490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
50	2	rexrd 9968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
51	4	rexrd 9968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
52		iocleub 38572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
53	50, 51, 20, 52	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
55	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	4, 2	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
57	8, 56	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
58	29, 57	remulcld 9949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
59	9, 58	readdcld 9948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
61	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
62		iocgtlb 38571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
63	50, 51, 17, 62	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
65	55, 60, 61, 64	ltadd1dd 10517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
66	8	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
67	4	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
68	2	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
69	57	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	subaddd 10289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
71	66, 70	mpbii 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
72	71	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
73	72	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
74	9	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
75	58	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
76	74, 75, 69	addassd 9941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
78	29	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
79	78, 69	adddirp1d 9945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))
80	79	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
81	80	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
83		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
84	83	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇))
85	84	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
87	77, 82, 86	3eqtrrd 2649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
88	65, 73, 87	3brtr4d 4615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
89	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
90	27, 57	remulcld 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
91	9, 90	readdcld 9948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
93	89, 92	ltnled 10063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
94	88, 93	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
95	54, 94	pm2.65da 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1))
96		iocleub 38572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
97	50, 51, 17, 96	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
98	97	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
99	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
100	91	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
101	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
102		iocgtlb 38571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
103	50, 51, 20, 102	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
104	103	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
105	99, 100, 101, 104	ltadd1dd 10517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
106	72	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
107	90	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
108	74, 107, 69	addassd 9941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
110	27	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
111	110, 69	adddirp1d 9945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))
112	111	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
113	112	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
114	113	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
115		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
116	115	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇))
117	116	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
118	117	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
119	109, 114, 118	3eqtrrd 2649	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
120	105, 106, 119	3brtr4d 4615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
121	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
122	59	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
123	121, 122	ltnled 10063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
124	120, 123	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
125	98, 124	pm2.65da 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))
126	95, 125	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
127	126	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
128		pm4.56 515	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
129	127, 128	sylib 207	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
130	49, 129	condan 831	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐽)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∨ wo 382 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 class class class wbr 4583 (class class class)co 6549 ℝcr 9814 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℤcz 11254 (,]cioc 12047 [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-n0 11170 df-z 11255 df-rp 11709 df-ioc 12051 df-icc 12053

This theorem is referenced by: fourierdlem51 39050

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