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Theorem fourierdlem35 39035
 Description: There is a single point in (𝐴(,]𝐵) that's distant from 𝑋 a multiple integer of 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem35.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem35.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem35.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem35.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem35.5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem35.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem35.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem35.iel (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
fourierdlem35.jel (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem35 (𝜑𝐼 = 𝐽)

Proof of Theorem fourierdlem35
StepHypRef Expression
1 neqne 2790 . . 3 𝐼 = 𝐽𝐼𝐽)
2 fourierdlem35.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 fourierdlem35.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 fourierdlem35.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐴 < 𝐵)
8 fourierdlem35.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
9 fourierdlem35.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝑋 ∈ ℝ)
11 fourierdlem35.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℤ)
13 fourierdlem35.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℤ)
15 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐼 < 𝐽)
16 iocssicc 12132 . . . . . . . . 9 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
17 fourierdlem35.iel . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
1816, 17sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
20 fourierdlem35.jel . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
2116, 20sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
233, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 19, 22fourierdlem6 39006 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → 𝐽 = (𝐼 + 1))
2423orcd 406 . . . . 5 ((𝜑𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
2524adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
26 simpll 786 . . . . 5 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝜑)
2713zred 11358 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 ∈ ℝ)
2911zred 11358 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
3026, 29syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐼 ∈ ℝ)
31 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
3231necomd 2837 . . . . . . 7 (𝐼𝐽𝐽𝐼)
3332ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽𝐼)
34 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → ¬ 𝐼 < 𝐽)
3528, 30, 33, 34lttri5d 38454 . . . . 5 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → 𝐽 < 𝐼)
362adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐴 ∈ ℝ)
374adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐵 ∈ ℝ)
386adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐴 < 𝐵)
399adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
4013adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℤ)
4111adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℤ)
42 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐽 < 𝐼)
4321adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4418adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4536, 37, 38, 8, 39, 40, 41, 42, 43, 44fourierdlem6 39006 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → 𝐼 = (𝐽 + 1))
4645olcd 407 . . . . 5 ((𝜑𝐽 < 𝐼) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
4726, 35, 46syl2anc 691 . . . 4 (((𝜑𝐼𝐽) ∧ ¬ 𝐼 < 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
4825, 47pm2.61dan 828 . . 3 ((𝜑𝐼𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
491, 48sylan2 490 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
502rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
514rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
52 iocleub 38572 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
5350, 51, 20, 52syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
5453adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
552adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
564, 2resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
578, 56syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5829, 57remulcld 9949 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
599, 58readdcld 9948 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
6157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
62 iocgtlb 38571 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6350, 51, 17, 62syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
6555, 60, 61, 64ltadd1dd 10517 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
668eqcomi 2619 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴) = 𝑇
674recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
682recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6957recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
7067, 68, 69subaddd 10289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐴) = 𝑇 ↔ (𝐴 + 𝑇) = 𝐵))
7166, 70mpbii 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) = 𝐵)
7271eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
7372adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
749recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7558recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
7674, 75, 69addassd 9941 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
7776adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)))
7829recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
7978, 69adddirp1d 9945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇))
8079eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
8180oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
8281adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)))
83 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝐽 · 𝑇) = ((𝐼 + 1) · 𝑇))
8483eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 = (𝐼 + 1) → ((𝐼 + 1) · 𝑇) = (𝐽 · 𝑇))
8584oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝐽 = (𝐼 + 1) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
8685adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + ((𝐼 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
8777, 82, 863eqtrrd 2649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) + 𝑇))
8865, 73, 873brtr4d 4615 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
894adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9027, 57remulcld 9949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
919, 90readdcld 9948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
9291adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
9389, 92ltnled 10063 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
9488, 93mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 = (𝐼 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9554, 94pm2.65da 598 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐽 = (𝐼 + 1))
96 iocleub 38572 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9750, 51, 17, 96syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
9897adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
992adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10091adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ ℝ)
10157adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
102 iocgtlb 38571 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴(,]𝐵)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
10350, 51, 20, 102syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
104103adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐴 < (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)))
10599, 100, 101, 104ltadd1dd 10517 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐴 + 𝑇) < ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
10672adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 = (𝐴 + 𝑇))
10790recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
10874, 107, 69addassd 9941 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
109108adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇) = (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)))
11027recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
111110, 69adddirp1d 9945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇))
112111eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
113112oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 · 𝑇) + 𝑇)) = (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)))
115 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝐼 · 𝑇) = ((𝐽 + 1) · 𝑇))
116115eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = (𝐽 + 1) → ((𝐽 + 1) · 𝑇) = (𝐼 · 𝑇))
117116oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝐽 + 1) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
118117adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + ((𝐽 + 1) · 𝑇)) = (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
119109, 114, 1183eqtrrd 2649 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) + 𝑇))
120105, 106, 1193brtr4d 4615 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)))
1214adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12259adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ ℝ)
123121, 122ltnled 10063 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → (𝐵 < (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵))
124120, 123mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 = (𝐽 + 1)) → ¬ (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ≤ 𝐵)
12598, 124pm2.65da 598 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1))
12695, 125jca 553 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
127126adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
128 pm4.56 515 . . 3 ((¬ 𝐽 = (𝐼 + 1) ∧ ¬ 𝐼 = (𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
129127, 128sylib 207 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ¬ (𝐽 = (𝐼 + 1) ∨ 𝐼 = (𝐽 + 1)))
13049, 129condan 831 1 (𝜑𝐼 = 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254  (,]cioc 12047  [,]cicc 12049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-rp 11709  df-ioc 12051  df-icc 12053 This theorem is referenced by:  fourierdlem51  39050
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