Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprel 18915
 Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsppr.a + = (+g𝑊)
lsppr.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsppr.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lsppr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsppr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsppr.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsppr.x (𝜑𝑋𝑉)
lsppr.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprel (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙, +   𝑘,𝐹,𝑙   𝑘,𝐾,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   · ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑘,𝑊,𝑙   𝑘,𝑋,𝑙   𝑘,𝑌,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝑍,𝑙

Proof of Theorem lspprel
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsppr.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lsppr.a . . . 4 + = (+g𝑊)
3 lsppr.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lsppr.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lsppr.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lsppr.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7 lsppr.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsppr.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
9 lsppr.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lsppr 18914 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))})
1110eleq2d 2673 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))}))
12 id 22 . . . . . 6 (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
13 ovex 6577 . . . . . 6 ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ∈ V
1412, 13syl6eqel 2696 . . . . 5 (𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
1514rexlimivw 3011 . . . 4 (∃𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
1615rexlimivw 3011 . . 3 (∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) → 𝑍 ∈ V)
17 eqeq1 2614 . . . 4 (𝑣 = 𝑍 → (𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
18172rexbidv 3039 . . 3 (𝑣 = 𝑍 → (∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
1916, 18elab3 3327 . 2 (𝑍 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑣 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))} ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌)))
2011, 19syl6bb 275 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ∃𝑘𝐾𝑙𝐾 𝑍 = ((𝑘 · 𝑋) + (𝑙 · 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793 This theorem is referenced by:  lspfixed  18949  lspexch  18950
 Copyright terms: Public domain W3C validator