MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprel Structured version   Unicode version

Theorem lspprel 17611
Description: Member of the span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 10-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsppr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsppr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lsppr.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lsppr.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lsppr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lsppr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsppr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsppr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsppr.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lspprel  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
Distinct variable groups:    k, l,  .+    k, F, l    k, K, l    k, N, l    .x. , k, l    k, V, l    k, W, l   
k, X, l    k, Y, l    ph, k, l   
k, Z, l

Proof of Theorem lspprel
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsppr.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lsppr.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lsppr.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 lsppr.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
5 lsppr.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 lsppr.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 lsppr.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lsppr.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 lsppr.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lsppr 17610 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X
)  .+  ( l  .x.  Y ) ) } )
1110eleq2d 2537 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  Z  e.  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) } ) )
12 id 22 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  ->  Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) )
13 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( ( k  .x.  X ) 
.+  ( l  .x.  Y ) )  e. 
_V
1412, 13syl6eqel 2563 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  ->  Z  e.  _V )
1514rexlimivw 2956 . . . 4  |-  ( E. l  e.  K  Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  ->  Z  e.  _V )
1615rexlimivw 2956 . . 3  |-  ( E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k 
.x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  ->  Z  e.  _V )
17 eqeq1 2471 . . . 4  |-  ( v  =  Z  ->  (
v  =  ( ( k  .x.  X ) 
.+  ( l  .x.  Y ) )  <->  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
18172rexbidv 2985 . . 3  |-  ( v  =  Z  ->  ( E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( (
k  .x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
1916, 18elab3 3262 . 2  |-  ( Z  e.  { v  |  E. k  e.  K  E. l  e.  K  v  =  ( (
k  .x.  X )  .+  ( l  .x.  Y
) ) }  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) )
2011, 19syl6bb 261 1  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( N `  { X ,  Y } )  <->  E. k  e.  K  E. l  e.  K  Z  =  ( ( k  .x.  X )  .+  (
l  .x.  Y )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   {cpr 4035   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   LModclmod 17383   LSpanclspn 17488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489
This theorem is referenced by:  lspfixed  17645  lspexch  17646
  Copyright terms: Public domain W3C validator