Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspf 18795
 Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspf (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉𝑆)

Proof of Theorem lspf
Dummy variables 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 ssrab2 3650 . . . . 5 {𝑝𝑆𝑠𝑝} ⊆ 𝑆
32a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝𝑆𝑠𝑝} ⊆ 𝑆)
4 lspval.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspval.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
64, 5lss1 18760 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
7 elpwi 4117 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉𝑠𝑉)
8 sseq2 3590 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑉 → (𝑠𝑝𝑠𝑉))
98rspcev 3282 . . . . . 6 ((𝑉𝑆𝑠𝑉) → ∃𝑝𝑆 𝑠𝑝)
106, 7, 9syl2an 493 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → ∃𝑝𝑆 𝑠𝑝)
11 rabn0 3912 . . . . 5 ({𝑝𝑆𝑠𝑝} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝𝑆 𝑠𝑝)
1210, 11sylibr 223 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝𝑆𝑠𝑝} ≠ ∅)
135lssintcl 18785 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑝𝑆𝑠𝑝} ⊆ 𝑆 ∧ {𝑝𝑆𝑠𝑝} ≠ ∅) → {𝑝𝑆𝑠𝑝} ∈ 𝑆)
141, 3, 12, 13syl3anc 1318 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉) → {𝑝𝑆𝑠𝑝} ∈ 𝑆)
15 eqid 2610 . . 3 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑝𝑆𝑠𝑝}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑝𝑆𝑠𝑝})
1614, 15fmptd 6292 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑝𝑆𝑠𝑝}):𝒫 𝑉𝑆)
17 lspval.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
184, 5, 17lspfval 18794 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑝𝑆𝑠𝑝}))
1918feq1d 5943 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁:𝒫 𝑉𝑆 ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑝𝑆𝑠𝑝}):𝒫 𝑉𝑆))
2016, 19mpbird 246 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∩ cint 4410   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793 This theorem is referenced by:  lspcl  18797  islmodfg  36657
 Copyright terms: Public domain W3C validator