MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspval 18796
Description: The span of a set of vectors (in a left module). (spanval 27576 analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspval ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
Distinct variable groups:   𝑡,𝑆   𝑡,𝑈   𝑡,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem lspval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspval.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspval.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3lspfval 18794 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑁 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡}))
54fveq1d 6105 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈))
65adantr 480 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈))
7 simpr 476 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
8 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘𝑊) ∈ V
91, 8eqeltri 2684 . . . . 5 𝑉 ∈ V
109elpw2 4755 . . . 4 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
117, 10sylibr 223 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉)
121, 2lss1 18760 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑉𝑆)
13 sseq2 3590 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑉 → (𝑈𝑡𝑈𝑉))
1413rspcev 3282 . . . . 5 ((𝑉𝑆𝑈𝑉) → ∃𝑡𝑆 𝑈𝑡)
1512, 14sylan 487 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → ∃𝑡𝑆 𝑈𝑡)
16 intexrab 4750 . . . 4 (∃𝑡𝑆 𝑈𝑡 {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V)
1715, 16sylib 207 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V)
18 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑈 → (𝑠𝑡𝑈𝑡))
1918rabbidv 3164 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → {𝑡𝑆𝑠𝑡} = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
2019inteqd 4415 . . . 4 (𝑠 = 𝑈 {𝑡𝑆𝑠𝑡} = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
21 eqid 2610 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡}) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})
2220, 21fvmptg 6189 . . 3 ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑈𝑡} ∈ V) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
2311, 17, 22syl2anc 691 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 {𝑡𝑆𝑠𝑡})‘𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
246, 23eqtrd 2644 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡𝑆𝑈𝑡})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540  𝒫 cpw 4108   cint 4410  cmpt 4643  cfv 5804  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793
This theorem is referenced by:  lspid  18803  lspss  18805  lspssid  18806  dochspss  35685  lcosslsp  42021
  Copyright terms: Public domain W3C validator