MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspf Structured version   Unicode version

Theorem lspf 17033
Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspf  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf
Dummy variables  s  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  W  e.  LMod )
2 ssrab2 3434 . . . . 5  |-  { p  e.  S  |  s  C_  p }  C_  S
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  { p  e.  S  |  s  C_  p }  C_  S )
4 lspval.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspval.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
64, 5lss1 16998 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  V  e.  S )
7 elpwi 3866 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P V  -> 
s  C_  V )
8 sseq2 3375 . . . . . . 7  |-  ( p  =  V  ->  (
s  C_  p  <->  s  C_  V ) )
98rspcev 3070 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  S  /\  s  C_  V )  ->  E. p  e.  S  s  C_  p )
106, 7, 9syl2an 474 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  E. p  e.  S  s  C_  p )
11 rabn0 3654 . . . . 5  |-  ( { p  e.  S  | 
s  C_  p }  =/=  (/)  <->  E. p  e.  S  s  C_  p )
1210, 11sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  { p  e.  S  |  s  C_  p }  =/=  (/) )
135lssintcl 17023 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
p  e.  S  | 
s  C_  p }  C_  S  /\  { p  e.  S  |  s  C_  p }  =/=  (/) )  ->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p }  e.  S )
141, 3, 12, 13syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p }  e.  S )
15 eqid 2441 . . 3  |-  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
)  =  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
)
1614, 15fmptd 5864 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
) : ~P V --> S )
17 lspval.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
184, 5, 17lspfval 17032 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  N  =  ( s  e.  ~P V  |->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p } ) )
1918feq1d 5543 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N : ~P V --> S  <->  ( s  e.  ~P V  |->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p } ) : ~P V --> S ) )
2016, 19mpbird 232 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   |^|cint 4125    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415   Basecbs 14170   LModclmod 16928   LSubSpclss 16991   LSpanclspn 17030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031
This theorem is referenced by:  lspcl  17035  islmodfg  29347
  Copyright terms: Public domain W3C validator