Theorem lspf 18190

Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables s p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
2		ssrab2 3513	. . . . 5 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
4		lspval.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
5		lspval.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lss1 18155	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> V e. S )
7		elpwi 3959	. . . . . 6 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
8		sseq2 3453	. . . . . . 7 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
9	8	rspcev 3149	. . . . . 6 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
10	6, 7, 9	syl2an 480	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
11		rabn0 3751	. . . . 5 |- ( { p e. S | s C_ p } =/= (/) <-> E. p e. S s C_ p )
12	10, 11	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } =/= (/) )
13	5	lssintcl 18180	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ { p e. S | s C_ p } =/= (/) ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
14	1, 3, 12, 13	syl3anc 1267	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
15		eqid 2450	. . 3 |- ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } )
16	14, 15	fmptd 6044	. 2 |- ( W e. LMod -> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S )
17		lspval.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
18	4, 5, 17	lspfval 18189	. . 3 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
19	18	feq1d 5712	. 2 |- ( W e. LMod -> ( N : ~P V --> S <-> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S ) )
20	16, 19	mpbird 236	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   E.wrex 2737   {crab 2740   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   |^|cint 4233   |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581   Basecbs 15114   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   LSpanclspn 18187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188

This theorem is referenced by:  lspcl  18192  islmodfg  35921