Theorem lspf 17398

Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables s p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
2		ssrab2 3580	. . . . 5 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
4		lspval.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
5		lspval.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lss1 17363	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> V e. S )
7		elpwi 4014	. . . . . 6 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
8		sseq2 3521	. . . . . . 7 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
9	8	rspcev 3209	. . . . . 6 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
10	6, 7, 9	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
11		rabn0 3800	. . . . 5 |- ( { p e. S | s C_ p } =/= (/) <-> E. p e. S s C_ p )
12	10, 11	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } =/= (/) )
13	5	lssintcl 17388	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ { p e. S | s C_ p } =/= (/) ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
14	1, 3, 12, 13	syl3anc 1223	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
15		eqid 2462	. . 3 |- ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } )
16	14, 15	fmptd 6038	. 2 |- ( W e. LMod -> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S )
17		lspval.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
18	4, 5, 17	lspfval 17397	. . 3 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
19	18	feq1d 5710	. 2 |- ( W e. LMod -> ( N : ~P V --> S <-> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S ) )
20	16, 19	mpbird 232	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   E.wrex 2810   {crab 2813   C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   |^|cint 4277   |-> cmpt 4500   -->wf 5577   ` cfv 5581   Basecbs 14481   LModclmod 17290   LSubSpclss 17356   LSpanclspn 17395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396

This theorem is referenced by:  lspcl  17400  islmodfg  30610