MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspf Structured version   Unicode version

Theorem lspf 17161
Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspf  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf
Dummy variables  s  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  W  e.  LMod )
2 ssrab2 3535 . . . . 5  |-  { p  e.  S  |  s  C_  p }  C_  S
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  { p  e.  S  |  s  C_  p }  C_  S )
4 lspval.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspval.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
64, 5lss1 17126 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  V  e.  S )
7 elpwi 3967 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ~P V  -> 
s  C_  V )
8 sseq2 3476 . . . . . . 7  |-  ( p  =  V  ->  (
s  C_  p  <->  s  C_  V ) )
98rspcev 3169 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  S  /\  s  C_  V )  ->  E. p  e.  S  s  C_  p )
106, 7, 9syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  E. p  e.  S  s  C_  p )
11 rabn0 3755 . . . . 5  |-  ( { p  e.  S  | 
s  C_  p }  =/=  (/)  <->  E. p  e.  S  s  C_  p )
1210, 11sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  { p  e.  S  |  s  C_  p }  =/=  (/) )
135lssintcl 17151 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
p  e.  S  | 
s  C_  p }  C_  S  /\  { p  e.  S  |  s  C_  p }  =/=  (/) )  ->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p }  e.  S )
141, 3, 12, 13syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  e.  ~P V )  ->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p }  e.  S )
15 eqid 2451 . . 3  |-  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
)  =  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
)
1614, 15fmptd 5966 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( s  e.  ~P V  |->  |^|
{ p  e.  S  |  s  C_  p }
) : ~P V --> S )
17 lspval.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
184, 5, 17lspfval 17160 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  N  =  ( s  e.  ~P V  |->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p } ) )
1918feq1d 5644 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N : ~P V --> S  <->  ( s  e.  ~P V  |->  |^| { p  e.  S  |  s  C_  p } ) : ~P V --> S ) )
2016, 19mpbird 232 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  N : ~P V --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   {crab 2799    C_ wss 3426   (/)c0 3735   ~Pcpw 3958   |^|cint 4226    |-> cmpt 4448   -->wf 5512   ` cfv 5516   Basecbs 14276   LModclmod 17054   LSubSpclss 17119   LSpanclspn 17158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-lsp 17159
This theorem is referenced by:  lspcl  17163  islmodfg  29560
  Copyright terms: Public domain W3C validator