Theorem lspf 17033

Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables s p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 454	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
2		ssrab2 3434	. . . . 5 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
4		lspval.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
5		lspval.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lss1 16998	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> V e. S )
7		elpwi 3866	. . . . . 6 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
8		sseq2 3375	. . . . . . 7 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
9	8	rspcev 3070	. . . . . 6 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
10	6, 7, 9	syl2an 474	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
11		rabn0 3654	. . . . 5 |- ( { p e. S | s C_ p } =/= (/) <-> E. p e. S s C_ p )
12	10, 11	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } =/= (/) )
13	5	lssintcl 17023	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ { p e. S | s C_ p } =/= (/) ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
14	1, 3, 12, 13	syl3anc 1213	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
15		eqid 2441	. . 3 |- ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } )
16	14, 15	fmptd 5864	. 2 |- ( W e. LMod -> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S )
17		lspval.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
18	4, 5, 17	lspfval 17032	. . 3 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
19	18	feq1d 5543	. 2 |- ( W e. LMod -> ( N : ~P V --> S <-> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S ) )
20	16, 19	mpbird 232	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   |^|cint 4125   e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415   Basecbs 14170   LModclmod 16928   LSubSpclss 16991   LSpanclspn 17030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031

This theorem is referenced by:  lspcl  17035  islmodfg  29347