Theorem lspf 17940

Description: The span operator on a left module maps subsets to subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspf	|- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Proof of Theorem lspf

Dummy variables s p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 455	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> W e. LMod )
2		ssrab2 3524	. . . . 5 |- { p e. S | s C_ p } C_ S
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } C_ S )
4		lspval.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
5		lspval.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lss1 17905	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> V e. S )
7		elpwi 3964	. . . . . 6 |- ( s e. ~P V -> s C_ V )
8		sseq2 3464	. . . . . . 7 |- ( p = V -> ( s C_ p <-> s C_ V ) )
9	8	rspcev 3160	. . . . . 6 |- ( ( V e. S /\ s C_ V ) -> E. p e. S s C_ p )
10	6, 7, 9	syl2an 475	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> E. p e. S s C_ p )
11		rabn0 3759	. . . . 5 |- ( { p e. S | s C_ p } =/= (/) <-> E. p e. S s C_ p )
12	10, 11	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> { p e. S | s C_ p } =/= (/) )
13	5	lssintcl 17930	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { p e. S | s C_ p } C_ S /\ { p e. S | s C_ p } =/= (/) ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
14	1, 3, 12, 13	syl3anc 1230	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ s e. ~P V ) -> |^| { p e. S | s C_ p } e. S )
15		eqid 2402	. . 3 |- ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } )
16	14, 15	fmptd 6033	. 2 |- ( W e. LMod -> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S )
17		lspval.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
18	4, 5, 17	lspfval 17939	. . 3 |- ( W e. LMod -> N = ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) )
19	18	feq1d 5700	. 2 |- ( W e. LMod -> ( N : ~P V --> S <-> ( s e. ~P V |-> |^| { p e. S | s C_ p } ) : ~P V --> S ) )
20	16, 19	mpbird 232	1 |- ( W e. LMod -> N : ~P V --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   E.wrex 2755   {crab 2758   C_ wss 3414   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   |^|cint 4227   |-> cmpt 4453   -->wf 5565   ` cfv 5569   Basecbs 14841   LModclmod 17832   LSubSpclss 17898   LSpanclspn 17937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938

This theorem is referenced by:  lspcl  17942  islmodfg  35377