Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspexchn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspexchn2 18952
 Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 18950 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 24-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspexchn2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspexchn2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspexchn2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspexchn2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspexchn2.y (𝜑𝑌𝑉)
lspexchn2.z (𝜑𝑍𝑉)
lspexchn2.q (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
lspexchn2.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspexchn2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))

Proof of Theorem lspexchn2
StepHypRef Expression
1 lspexchn2.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspexchn2.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspexchn2.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lspexchn2.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
5 lspexchn2.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
6 lspexchn2.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
7 lspexchn2.q . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
8 lspexchn2.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
9 prcom 4211 . . . . . 6 {𝑍, 𝑌} = {𝑌, 𝑍}
109fveq2i 6106 . . . . 5 (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍})
1110eleq2i 2680 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
128, 11sylnib 317 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12lspexchn1 18951 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
14 prcom 4211 . . . 4 {𝑋, 𝑍} = {𝑍, 𝑋}
1514fveq2i 6106 . . 3 (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, 𝑋})
1615eleq2i 2680 . 2 (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))
1713, 16sylnib 317 1 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑋}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924 This theorem is referenced by:  baerlem5amN  36023  baerlem5bmN  36024  baerlem5abmN  36025
 Copyright terms: Public domain W3C validator