MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspexchn2 Structured version   Unicode version

Theorem lspexchn2 17336
Description: Exchange property for span of a pair with negated membership. TODO: look at uses of lspexch 17334 to see if this will shorten proofs. (Contributed by NM, 24-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspexchn2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspexchn2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspexchn2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspexchn2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspexchn2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspexchn2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lspexchn2.q  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z } ) )
lspexchn2.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspexchn2  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  X } ) )

Proof of Theorem lspexchn2
StepHypRef Expression
1 lspexchn2.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspexchn2.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lspexchn2.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lspexchn2.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
5 lspexchn2.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
6 lspexchn2.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
7 lspexchn2.q . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z } ) )
8 lspexchn2.e . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  Y } ) )
9 prcom 4062 . . . . . 6  |-  { Z ,  Y }  =  { Y ,  Z }
109fveq2i 5803 . . . . 5  |-  ( N `
 { Z ,  Y } )  =  ( N `  { Y ,  Z } )
1110eleq2i 2532 . . . 4  |-  ( X  e.  ( N `  { Z ,  Y }
)  <->  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
128, 11sylnib 304 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12lspexchn1 17335 . 2  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { X ,  Z } ) )
14 prcom 4062 . . . 4  |-  { X ,  Z }  =  { Z ,  X }
1514fveq2i 5803 . . 3  |-  ( N `
 { X ,  Z } )  =  ( N `  { Z ,  X } )
1615eleq2i 2532 . 2  |-  ( Y  e.  ( N `  { X ,  Z }
)  <->  Y  e.  ( N `  { Z ,  X } ) )
1713, 16sylnib 304 1  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  X } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3986   {cpr 3988   ` cfv 5527   Basecbs 14293   LSpanclspn 17176   LVecclvec 17307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-subg 15798  df-cntz 15955  df-lsm 16257  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-drng 16958  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-lvec 17308
This theorem is referenced by:  baerlem5amN  35700  baerlem5bmN  35701  baerlem5abmN  35702
  Copyright terms: Public domain W3C validator