Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlsp 18870
 Description: Homomorphisms preserve spans. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
lmhmlsp.k 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
lmhmlsp.l 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lmhmlsp ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) = (𝐿‘(𝐹𝑈)))

Proof of Theorem lmhmlsp
StepHypRef Expression
1 lmhmlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑆)
2 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
31, 2lmhmf 18855 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
43adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
5 ffun 5961 . . . 4 (𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) → Fun 𝐹)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → Fun 𝐹)
7 lmhmlmod1 18854 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
87adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑆 ∈ LMod)
9 lmhmlmod2 18853 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑇 ∈ LMod)
11 imassrn 5396 . . . . . . 7 (𝐹𝑈) ⊆ ran 𝐹
12 frn 5966 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
134, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
1411, 13syl5ss 3579 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
15 eqid 2610 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑇) = (LSubSp‘𝑇)
16 lmhmlsp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSpan‘𝑇)
172, 15, 16lspcl 18797 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
1810, 14, 17syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
19 eqid 2610 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑆) = (LSubSp‘𝑆)
2019, 15lmhmpreima 18869 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐿‘(𝐹𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇)) → (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
2118, 20syldan 486 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆))
22 incom 3767 . . . . . . 7 (dom 𝐹𝑈) = (𝑈 ∩ dom 𝐹)
23 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
24 fdm 5964 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇) → dom 𝐹 = 𝑉)
254, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → dom 𝐹 = 𝑉)
2623, 25sseqtr4d 3605 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ dom 𝐹)
27 df-ss 3554 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
2826, 27sylib 207 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑈 ∩ dom 𝐹) = 𝑈)
2922, 28syl5req 2657 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 = (dom 𝐹𝑈))
30 dminss 5466 . . . . . 6 (dom 𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐹𝑈))
3129, 30syl6eqss 3618 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐹𝑈)))
322, 16lspssid 18806 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
3310, 14, 32syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
34 imass2 5420 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)) → (𝐹 “ (𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
3533, 34syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
3631, 35sstrd 3578 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
37 lmhmlsp.k . . . . 5 𝐾 = (LSpan‘𝑆)
3819, 37lspssp 18809 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))) ∈ (LSubSp‘𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈)))) → (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
398, 21, 36, 38syl3anc 1318 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈))))
40 funimass2 5886 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐾𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐿‘(𝐹𝑈)))) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
416, 39, 40syl2anc 691 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ⊆ (𝐿‘(𝐹𝑈)))
421, 19, 37lspcl 18797 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
438, 23, 42syl2anc 691 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆))
4419, 15lmhmima 18868 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐾𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑆)) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
4543, 44syldan 486 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇))
461, 37lspssid 18806 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾𝑈))
478, 23, 46syl2anc 691 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝐾𝑈))
48 imass2 5420 . . . 4 (𝑈 ⊆ (𝐾𝑈) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
4947, 48syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
5015, 16lspssp 18809 . . 3 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ (𝐾𝑈)) ∈ (LSubSp‘𝑇) ∧ (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈))) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
5110, 45, 49, 50syl3anc 1318 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐿‘(𝐹𝑈)) ⊆ (𝐹 “ (𝐾𝑈)))
5241, 51eqssd 3585 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐹 “ (𝐾𝑈)) = (𝐿‘(𝐹𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792   LMHom clmhm 18840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lmhm 18843 This theorem is referenced by:  frlmup3  19958  lindfmm  19985  lmimlbs  19994  lmhmfgima  36672  lmhmfgsplit  36674
 Copyright terms: Public domain W3C validator